Построение численного решения интегрального уравнения

Следуя технике решения интегральных уравнений первого рода, изложенной в параграфе 3.5, приведем в настоящем подпараграфе схему численного решения интегральных уравнений Фредгольма первого рода типа свертки, соответствующего рассматриваемой конкретной задаче (4.91). Исходя из стандартных обозначений параграфа 3.5, сведем рассматриваемую задачу к следующей:

где правая часть и (х, у) и ядро K (v, да) принадлежат пространству 1₂(М²) суммируемых с квадратом функций. Аппроксимируем область интегрирования некоторым прямоугольником В = [а b] х [с; d, границы которого могут расширяться по мере достижения требуемой точности вычислений.

К L

Зададим на В сетку Skl = {(^хк>.?/)}*.=! i= размераKxL и введем в рассмотрение функционал VII, отвечающий полной вариации функции z (.х, у) в области В:

Известно, что функции с конечной полной вариацией образуют банахово пространство VII (B) с нормой и[_/п =и (а, Ь) + VII (u, В). Далее будем считать, что вместо точных й и К заданы их приближенные значения щ и К_/г такие что.

а числа 5 и, А отражают степень погрешности в задании указанных функций. Для решения уравнения (4.92) будем использовать метод регуляризации Тихонова¹, состоящий в минимизации функционала.

где = H^llv//. В качестве приближенного решения уравнения (4.92) берется функция z°S минимизирующая функционал (4.94), где, а — параметр регуляризации, выбираемый специальным образом. Отметим, что существует множество способов выбора данного параметра. Если его выбор осуществляется только на основе вектора ошибок Г| = {А, 5}, то говорят, что такой выбор является априорным. Априорный выбор параметра, а = необходимо проводить так, чтобы выполнялись требования а_п —" О, (А + 5) уа_л —> 0 при г| —> 0. Примером априорного выбора является а_п = 8 + А. Если же выбор параметра регуляризации происходит на основе всей совокупности имеющихся данных {K_h, щ, Г|}, то говорят об апостериорном способе. Примерами апостериорного метода являются следующие принципы.

• Принцип невязки. В нем параметр > 0 выбирается как положительный корень уравнения

• Обобщенный принцип невязки. Параметр, а выбирается как положительный корень уравнения.

Для численной реализации изложенного подхода введем на прямоугольнике В равномерную сетку S_NN = {(х^, У)}^ /=i размера N х N и выпишем конечно-разностную аппроксимацию функционала (4.94). Конечномерная невязка запишется следующим образом:

Здесь Q_e — гладкая, конечномерная аппроксимация функционала Q:

Тихонов А. Я., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1990.

где f_e(x) = ^x² +, a e > и — заданная, достаточно малая константа.

Такой подход обеспечивает возможность применения метода сопряженных градиентов для минимизации функционала (4.94).

Рассмотрим результат решения интегрального уравнения (4.91) при следующем выборе параметров:

• • величины кредитов, выделяемых на проекты, равны /, = /₂ = 25 млн руб.;
• • размер собственных средств заемщика Р_и) = V₂₀ = 10,5 млн руб.;
• • волатильности проектов ст, = ст₂ = 0,35;
• • срок кредитования Т-2 года;
• • безрисковая ставка на два года г = 7% годовых;
• • фактический коэффициент корреляции между ценами проектов р = 0,5, расчетный коэффициент р = 0.

При заданном наборе параметров величина б процентов к выплате через два года составляет 9,61 млн руб., что соответствует ставке кредитования 9,61% годовых. График функции выплат ф₈ по данному кредиту изображен на рис. 4.7. Напомним, что, как и прежде, выплаты в соответствии с этой схемой реализованы следующим образом: при достаточном капитале проектов заемщик выплачивает кредитору сумму, равную 7_t + /₂ + 8, в противном случае права собственности на проекты переходят к кредитору (выплата в этом случае составляет Х (Т) + х₂(Т)).

Рис. 4.7. График функции ср₈(л₁₍ лг₂).

Решение интегрального уравнения (4.91) для данного набора параметров изображено на рис. 4.8. Оно представляет собой ту величину, на которую должна отличаться функция выплат по кредиту от функции <�р§. Максимальное значение функции z (lnx_v 1шг₂) составляет порядка 2,99. Величину 2,99 млн руб. следует рассматривать как оценку сверху для величины потерь кредитора от неправильной оценки коррелированности проектов и, соответственно, величины риска, связанного с их дефолтами.

Рис. 4.8. График функции z (x_if ln. r₂).