Предел функции. 
Физика

Говорят, что функция имеет предел.

при х, стремящемся к конечному значению х = а, если для каждого положительного числа е > О существует такое положительное число 5 > 0, что как только аргумент попадает в 8-окрестность числа а, т. е.

то функция f (x) определена и ее значения попадают в е-окрестность числа М:

Производная функции.

Первая производная (производная первого порядка) функции у = f (x) по х в точке х есть предел.

Дифференциал функции может быть найден по правилу.

Он выражает главную линейную часть приращения функции. Правила дифференцирования позволяют составить таблицу производных различных функций (см. приложение). В случае функции многих переменных

производная по определенной независимой переменной обозначается как

и находится как обычная производная при фиксированных значениях остальных независимых переменных Х2, х$,…х_п. Этот тип производной называется частной производной.

Первообразная функции.

Определенный интеграл. Для ряда функций можно найти так называемые первообразные функции или неопределенные интегралы. Это такие функции, производные которых равны исходным функциям. Говорят, что функция f (x) имеет в интервале [iа, Ь] неопределенный интеграл / f (x)dx, если существует такая функция F (x) (называемая первообразной), что F'(x) = f (x) на [я, Ь]. Полагают, что.

где С — произвольная константа.

Результаты нахождения первообразных для ряда функций могут быть легко установлены и сведены в таблицу (см. приложение). Если для функции f (x) известна первообразная функции F (x) на интервале.

ь

[я. /?], то может быть вычислен определенный интеграл / f (x)dx. Для.

а

этого нужно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

Методы дифференцирования и интегрирования в физике.

Эти методы кроме отражения основных математических операций тесно связаны с расширением границ применимости физических законов. Как известно, содержание физического закона не является абсолютным, т. е. нельзя просто записать закон. Для его понимания нужно обязательно сформулировать условия, при которых данный закон будет справедлив.

Например, если предположить, что физический закон имеет вид:

где Z, К, X — некоторые физические величины, причем.

то в этом случае зависимость выражается простыми графиками. Можно ли распространить этот простой вид линейной зависимости на случай, когда Y не является const, а также зависит от величины X, т. е. Y = Y(X)?

Оказывается, что это можно сделать, если выделить очень малый участок изменения величины X, т. е.

что в свою очередь выделяет на кривой К (Х) малое изменение функции.

• 1.2.10. Методы дифференцирования и интегрирования в фишке
• 27

Если установить предел отношения.

при аХ —? 0, то величина Л | будет иметь постоянное значение в данной точке Х. В силу того, что на малом участке АХ величина А = const, на этом малом промежутке (от Х до Х2) можно пренебречь изменением У и считать приближенно Y & А. Но тогда на промежутке АХ можно записать.

где А =А (Х).

Учитывая, что подобная процедура может быть проделана в любой точке X, в общем виде получим.

Это дифференциальная форма физического закона. Что она выражает? Обычно этот закон читают так: ‘‘Малое изменение величины X вызывает также малое изменение величины Z (X)". Коэффициент пропорциональности У в этом случае зависит от величины X, поскольку в каждой точке X величина У имеет свое определенное значение. Дифференциальная форма закона может быть записана и другом виде:

Примером может служить соотношение для определения пути прямолинейного движения (5) через скорость (V) и время (/):

Хорошо известно, что эта формула справедлива лишь в случае равномерного движения, т. е. при V = const. Скорость (V) может зависеть от времени (/) произвольным образом V (t), но если брать очень малые интервалы времени, то в пределах такого интервала можно считать, что связь величин 5, У и г сохраняет вид, справедливый при V = const. Таким образом, дифференциальная форма этого закона имеет вид или.

Тем самым можно утверждать, что одно из преимуществ использования производных и дифференциалов заключается в том, что при малых изменениях мы можем получать очень простые формулы. С учетом того, что для вычисления производных существуют специальные математические методы (результаты которых можно свести к таблице), мы имем важный инструмент получения физических законов в дифференциальной форме.

Если необходимо из дифференциальной зависимости (т. е. зависимости в конкретных точках изменения аргумента) получить полную зависимость некоторой физической величины, то нужно совершить операцию, обратную дифференцированию. Эта процедура и называется интегрированием.

Как отмечалось, в математическом плане целью интегрирования является нахождение таких функций (первообразных), производные которых совпадают с исходными функциями. В ряде случаев операция интегрирования может быть сведена к простым приемам. Например, если имеется выражение.

то, находя интегралы от левой и правой частей дифференциального равенства

можно легко получить результат.

При известной зависимости К (Х) правая часть может быть также вычислена, например, по таблице интегралов. В частности, для случая равноускоренного движения материальной точки, движущейся с постоянным ускорением а и со скоростью, зависящей от времени по закону.

имеем.

Если взять интеграл от левой и правой частей равенства и использовать простейшие правила интегрирования, то отсюда нетрудно получить закон изменения пройденного пути со временем:

Отметим, что определенный интеграл (графически) представляет площадь под кривой (площадь криволинейной трапеции), расположенную между крайними точками интегрирования.

Таким образом, описанная методика при анализе физических задач состоит в следующем. Сначала находят, как связаны малые приращения аргумента и функции. Это достигается путем дробления аргумента на очень малые части. Если аргументом является время, то малые промежутки должны быть такими, чтобы в их пределах процесс можно было бы считать равномерным. Затем путем итерирования восстанавливается полная зависимость.

Аналогичные приемы можно применить и к случаям функций многих переменных. Например, если рассматриваются тела, обладающие неоднородными свойствами, то нужно так раздробить тело, чтобы в пределах этих раздробленных частей его свойства можно было бы считать одинаковыми. Например, если тело обладает плотностью, зависящей от пространственных координат p (jc, jy, z), то масса отдельного элемента может быть подсчитана по формуле.

Находя интералы от обеих частей этого равенства, можно получить полную массу всего тела в виде.

где интегрирование ведется по всему объему, занимаемому телом.