Явная разностная схема

Характеристика

Явная разностная схема для уравнения (6.1) имеет вид:

Исследуем её устойчивость с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член f{tⁿ, дг.), наличие которого не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7):

Упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части на.

Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем формулу.

из которой выражаем л:

Комплексный вид полученного выражения свидетельствует о том, что для устойчивости разностной схемы (6.2) согласно необходимому условию устойчивости разностных схем (3.8) требуется, чтобы собственные числа оператора перехода были расположены внутри или на границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале координат комплексной плоскости (рис. 5.1).

Введём следующие обозначения:

Рис. 6.1. Исследование устойчивости разностной схемы (6.2).

Следовательно, собственные числа оператора перехода расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке (1 — q 0) и радиусом г (рис. 6.1). Данная окружность не выходит за границы круга, соответствующего условию устойчивости (3.8), только при выполнении неравенства:

Так как Г < q, правое условие выполняется автоматически. Рассмотрим более подробно левое условие:

. ₂ ОС Задавая для sin — максимально возможное значение, равное 1, пе- 2.

рейдём к более строгому условию, справедливому для любого а:

Выражение (6.3) является условием устойчивости явной разностной схемы (6.2), аппроксимирующей дифференциальное уравнение (6.1).

Для определения порядка аппроксимации явной разностной схемы (6.2) подставим в неё выражения (2.16)-(2.18), описывающие разложение значений м"⁺, и"₊1, и"_, в ряд Тейлора относительно точки (jⁿ ₉ хj) на разностной сетке:

Так как ошибка О (Л) является более грубой, чем 0{h²):

явная разностная схема (6.2) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (6.1) с первым порядком и по времени, и по координате:

Рис. 6.2. Разностный шаблон разностной схемы (6.2).

Метод решения

Разностный шаблон (рис. 6.2), характеризующий явную разностную схему (6.2), свидетельствует о том, что она содержит одну неизвестную величину — значение функции u (t, х) на (п + 1)-м шаге по времени. Выражая эту величину из разностной схемы, получаем рекуррентное соотношение.

позволяющее рассчитать все значения функции u (t> х) на (п + 1)-м шаге по времени (при известных значениях функции u (t> х) на п-м шаге), кроме значений, U w^+l«определяемых с помощью граничных условий.

Если заданы граничные условия 1-го рода, то значения и _], и _Лг оп ределяются непосредственно из их разностной аппроксимации; если 2-го или 3-го рода, то — с помощью соотношений (4.4,а) и (4.4,Ь). Таким образом, алгоритм решения явной разностной схемы (6.2) аналогичен алгоритму решения явной разностной схемы (4.2), аппроксимирующей дифференциальное уравнение параболического типа, не содержащее производную по координате первого порядка ди/дх (рис. 4.2).