Применение вариационных методов

Раскрытие статической неопределимости для балки, может быть произведено и при помощи теоремы Кастильяно.

«Лишнюю» опорную реакцию В (Рис. 1, а) заменяем «лишней» неизвестной силой В, действующей вместе с заданной нагрузкой q на основную статически определимую балку АВ (фиг. 361, б).

Рис. 1. Исходная, а) и основная — б) расчетные схемы

Дифференцируя по силе В потенциальную энергию, и вычисляя таким образом прогиб, следует приравнять нулю.

(1).

Остается вычислить М и, установить пределы интеграла и взять его.

Будем считать, что сечение балки не меняется по длине. Тогда уравнение (1) примет вид:

или.

Отсюда.

Далее решение не отличается от описанного в способе сравнения деформаций.

Раскрытие статической неопределимости возможно выполнить также и по теореме Мора. При решении по Мору, кроме первого состояния нагружения основной балки заданной нагрузкой и лишней неизвестной силой (Рис. 2, а), следует показать ту же балку во втором состоянии загружения — силой (Рис. 2,б).

Вычисления при обозначениях, принятых на Рис. 2, дают:

а) исходная модель, б) фиктивная модель нагружения, в) грузовая эпюра моментов, г) эпюра моментов от реакции В, д) единичная эпюра моментов.

Рис. 2. Решение методом Мора и Верещагина

т.е. то же, что и при использовании теоремой Кастильяно.

При решении того же примера по способу Верищагина к двум схемам состояний загружения (Рис. 2 а и б) следует построить эпюры моментов: от нагрузки q (Рис. 2, в) от силы B (Рис. 2 г), и от силы (Рис. 2, д).

Величина моментных площадей:

от нагрузки q:

от нагрузки В:

Ординаты эпюр единичной нагрузки:

для умножения на.

:

для умножения на.

:

Прогиб в точке В.

Отсюда.

Совпадение результатов расчета опорной реакции очевидно.

Выбор лишней неизвестной и основной системы.

В предыдущем примере мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию В. Мы могли бы выбрать и момент. Соответственно изменилась бы основная система и ход решения. Окончательный же результат, конечно, получился бы прежним. Возьмем за лишнюю неизвестную опорный момент (Рис. 3, а). Какой будет основная система? Чтобы получить ее, надо отбросить то опорное закрепление, которое создает момент, т. е. защемление конца А. Чтобы на конце, А не было опорного момента, там следует поставить шарнирно-неподвижную опору.

Основной системой будет балка, изображенная на Рис. 3, б. Загрузим ее внешней нагрузкой и опорным моментом (фиг. 363, в).

Чтобы эти балки работали одинаково, надо для балки Рис. 3, в написать дополнительное условие, что сечение, А под действием изображенных нагрузок не может поворачиваться; накладываем это ограничение на перемещение, соответствующее выбранной лишней неизвестной:

Далее, применив для решения уравнения теорему Кастильяно, имеем.

а) заданное. б) основная, в) эквивалентная.

Рис. 3. Расчетные схемы

следовательно,.

Для нахождения М и выразим реакцию В основной системы через и произведем все обычные вычисления:

.

находим:

Отсюда.

.

т. е. той же величине, которая была получена раньше. Дальнейший ход решения не отличается от разобранного выше.

Решение той же основной системы (Рис. 4, а) с применением способа Верещагина потребует изображения второго состояния загружения основной системы моментом (Рис. 4, б) и построения эпюр изгибающего момента: от заданной нагрузки q (Рис. 4, в), от момента (Рис. 4, г) и от единичной нагрузки; (Рис. 4, д). Вычисляем :

а)исходная схема, б) нагружение единичным моментом, в) грузовая эпюра, г) моментная эпюра, д) единичная эпюра моментов Рис. 4. Динамика расчета по методу Верещагина:

Как видно, уравнение для определения полностью совпадает с найденным по теореме Кастильяно.

Сравнивая два варианта решения поставленной задачи с лишней неизвестной В и с лишней неизвестной, видим, что при применении способа Кастильяно первый вариант менее сложен по вычислениям. Это объясняется тем, что основной системой в первом варианте является балка, защемленная одним концом, во втором же — балка на двух опорах; для второй — вычисления сложнее. Таким образом, лишнюю неизвестную и, следовательно, основную систему надо выбирать с таким расчетом, чтобы выкладки (вычисление изгибающих моментов и т. д.) были проще.

Если бы мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию А, то основную систему следовало бы так устроить, чтобы опора, А не давала возможности поворота сечения и горизонтальных перемещений, но допускала бы вертикальные движения.

За лишнюю неизвестную нельзя брать лишь ту реакцию, при отбрасывании которой мы получим изменяемую, неустойчивую основную систему.

Общий план решения статически неопределимой задачи Таким образом, общий метод решения, статически неопределимых задач распадается на ряд отдельных этапов. В двух предыдущих лекциях приведены два варианта решения задачи: с лишней реакцией В и с лишней реакцией. Для развертывания добавочного условия даны также два варианта решения: способом сравнения деформаций и с применением теоремы. Кастильяно. Если бы число реакций статически неопределимой балки было нe четыре, как в рассмотренном примере, а больше, то соответственно увеличилось бы число лишних неизвестных; загрузив основную систему внешней нагрузкой и этими лишними неизвестными, мы можем написать дополнительные условия, ограничивающие деформации балки в тех сечениях, где эти лишние реакции приложены. Таким путем будет получено столько же дополнительных уравнений, сколько лишних неизвестных. Следовательно, общий метод определения добавочных опорных реакций в статически неопределимых балках основан на том, что якая дополнительная опора, вводя лишнюю неизвестную реакцию, в то же время накладывает дополнительное ограничение в основной статически определимой системе на перемещение, соответствующее лишней неизвестной реакции. Выражая уравнением это ограничение, получаем столько дополнительных уравнений, сколько добавлено новых опорных закреплений.

Определение деформаций статически неопределимых балок После того, как определены опорные реакции, построены эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, подобраны сечения статически неопределимой балки, определение ее деформаций ничем не отличается от таких же вычислений для статически определимой балки. Необходимо лишь отметить, что в этом случае мы будем иметь избыточное число уравнений для определения постоянных интегрирования. Этот избыток равен числу лишних неизвестных. Избыточные уравнения при правильно найденных реакциях обратятся в, тождества, ибо они уже и были использованы при нахождении лишних неизвестных. Так для балки, с левым (А), жестко защемленным и правым (В), шарнирно-опертыми концами с пролетом l, получим следующее дифференциальное уравнение изогнутой оси:

статистический балка деформация.

Интегрируем:

(а).

(b).

Постоянных интегрирования две, условий же для их определения можно написать три, а именно:

в точке, А при прогиб и угол поворота ;

В х=0 у = 0.

Третье из этих уравнений обратится в тождество, ибо оно уже было нами использовано при составлении дополнительного уравнения, из которого мы нашли для В значение. Заметим, что мы могли бы использовать уравнение изогнутой оси балки для нахождения лишней неизвестной. Приняв за лишнюю неизвестную реакцию В, составим и проинтегрируем дифференциальное уравнение изогнутой оси; получим формулы (а) и (b).

Используя граничные условия в точках, А и В, получим три уравнения, из которых найдем реакцию В и постоянные интегрирования С и D.