Постановка задачи. 
Разработка программного модуля

Математическая модель задачи

В различных задачах зависимость между переменными часто выражается в виде таблицы, в которой приведены статистические данные за определённый промежуток времени. Для изучения связи между этими переменными необходимо выразить зависимость между ними в виде аналитической формулы. Естественно, получить точную функциональную зависимость практически невозможно, поэтому ставится задача приближённой замены табличной записи некоторой функцией, значения которой мало отличались бы от статистических данных. Такую функцию называют эмпирической.

Рассмотрим задачу. Известна таблица значений двух переменных x и y.

Таблица 1. Вид исходных данных.

Требуется найти зависимость между переменными в виде уравнения y=. Подставим в неё значения x_i, i=1, m, из таблицы значений. Получим последовательность значений функции f (x₁), f (x₂), f (x₃), …, f (x_m-1), f (x_m). Естественно эти значения могут отличаться от табличных. Обозначим их отклонения через v_i:

v_i=f (x_i) — y_i, i=1, m.

Очевидно, что чем меньше величин отклонений, тем точнее уравнение y=f (x) выражает зависимость между x и y. Если значения из таблицы рассматривать как прямоугольные координаты точек M_i(x_i, y_i), i=1, m, то истинная зависимость между x и y геометрически изображается в виде кривой (рис. 1).

На самом же деле мы имеем график функции y=f (x) в виде кривой. В качестве отклонений v₁, v₂, …, v_m выступают разности ординат двух графиков в соответствующих точках x₁, x₂, …, x_m.

Для минимизации отклонений существует несколько критериев:

1) отклонения наименьшие, если их сумма будет минимальна.

2) отклонения наименьшие, если сумма их абсолютных величин минимальна.

3) отклонения наименьшие, если сумма их квадратов минимальна.

Критерием, дающим наиболее точное приближение, является последний. Он и положен в основу метода наименьших квадратов.

Рассмотрим функцию.

Параметры эмпирической формулы находятся из условия минимума функции, который определяется путем приравнивания нулю частных производных этой функции по всем ее переменным:

…,.

Полученные соотношения — система уравнений для определения параметров.

Приравнивая эти выражения к нулю, и собирая коэффициенты при неизвестных, получаем следующую систему уравнений:

Решим данную систему методом релаксации. Суть данного метода состоит в следующем: запишем полученную систему в матричном виде.

.

Обозначим левую и правую части уравнения через матрицы A и B соответственно.

A=, B.

Для вычисления корней полученной системы уравнений воспользуемся методом Гаусса.

Метод исключения Гаусса чаще других прямых методов применяется для решения систем уравнений. Метод основан на сведении матрицы системы уравнений к треугольному виду посредством преобразований ее строк, а затем решении полученной системы уравнений, и, таким образом, состоит из двух этапов.

Первый этап, называемый прямым ходом, для системы.

состоит из (n ?1) шагов исключения.

На первом шаге первое уравнение системы используется для исключения неизвестного x₁ из всех последующих уравнений. Для этого каждое уравнение с номером i = 2, 3, …, n складывается с первым уравнением, умноженным на коэффициент — a_i1/a₁₁, при этом в i-м уравнении коэффициент при x₁ сокращается, а само уравнение приобретает следующий вид:

Коэффициент a₁₁ при неизвестном x₁ в первом уравнении в данном контексте называется главным, или ведущим, элементом первого шага исключения. Главный элемент не должен быть равен 0, иначе при делении на него произойдет авост.

В результате система приводится к эквивалентному виду:

Теперь уравнения с номерами i = 2, 3,…, n образуют систему (n ?1) уравнений для (n ?1) неизвестных, и можно повторить шаг исключения уже для этой системы меньшего размера.

На втором шаге исключается неизвестное x₂ из уравнений с номерами i=3,4,5,…, n путем сложения этих уравнений со вторым уравнением, умноженным на коэффициент — a_i2⁽¹⁾/ a₂₂⁽¹⁾, в результате чего система приобретает следующий вид:

После (n ?1), последнего шага исключения, матрица системы уравнений становится верхней треугольной:

На втором этапе, этапе обратного хода, вычисляются неизвестные в порядке, обратном порядку их исключения. Из последнего уравнения системы вычисляется значение x_n=-b_n^(n-1)/ a_nn^(n-1). Подстановкой найденного значения в (n ?1) — е уравнение определяется x_n-1, и далее, подстановкой в k-e уравнение вычисленных неизвестных x_k+1,…, x_n рассчитывается x_k.

Входные данные

Таблица 2. Обозначение и возможный диапазон входных данных.

Выходные данные

Таблица 3. Выходные данные.

Обработка ошибок

В данной программе проверяются условия:

Число точек в таблице должно быть больше одной.

Степень полинома должна быть не больше числа точек в таблице.

В случае не выполнения, которых программа запросит снова ввести значения.