Вычисление интегралов методом Монте-Карло

Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений второго рода

Пусть необходимо вычислить линейный функционал, где, причём для интегрального оператора K с ядром выполняется условие, обеспечивающее сходимость ряда Неймана:. Цепь Маркова определяется начальной плотностью и переходной плотностью; вероятность обрыва цепи в точке равна. N — случайный номер последнего состояния. Далее определяется функционал от траектории цепи, математическое ожидание которого равно. Чаще всего используется так называемая оценка по столкновениям, где,. Если при, и при, то при некотором дополнительном условии. Важность достижения малой дисперсии в знакопостоянном случае показывает следующее утверждение: если и, где, то, а. Моделируя подходящую цепь Маркова на ЭВМ, получают статистическую оценку линейных функционалов от решения интегрального уравнения второго рода. Это даёт возможность и локальной оценки решения на основе представления:, где. Методом Монте-Карло оценка первого собственного значения интегрального оператора осуществляется интерациональным методом на основе соотношения. Все рассмотренные результаты почти автоматически распространяются на системы линейных алгебраических уравнений вида. Решение дифференциальных уравнений осуществляется методом Монте-Карло на базе соответствующих интегральных соотношений.