Расчет прогнозного значения среднегодовой численности промышленно-производственного персонала с помощью моделей кривых роста

Исходные данные для прогнозирования

В табл. 1 представлены данные за 15 лет о среднегодовой численности промышленно-производственного персонала, занятого в электроэнергетике.

Таблица 1 Среднегодовая численность промышленно-производственного персонала (ППП), тыс. чел.

Год.	Порядковый номер года.	Численность ППП.

Требуется рассчитать прогнозное значение среднегодовой численности промышленно-производственного персонала в следующем году (период упреждения L = 1), исходя из предположения, что тенденция ряда может быть описана:

1. Линейной моделью.

2. Параболической моделью.

Исследование компонентного состава заданного временного ряда

Графически значения заданного временного ряда представлены на рис. 1.

Исследование компонентного состава изучаемого временного ряда выявило, что в данном случае присутствуют и трендовая, и случайная составляющая (рис.1).

Для описания динамики данного ряда возможно применение моделей кривых роста полиномиального типа (I и II порядков). К I типу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером тенденции развития и отсутствием пределов роста. Эти условия справедливы для многих экономических показателей, например, для большинства натуральных показателей промышленного производства (что мы и имеем в нашем случае). Ко II классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде.

Определение коэффициентов линейной и параболической моделей Для расчета коэффициентов линейного тренда воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда (см. формулу (11)).

Так как число уровней ряда динамики нечетное (n = 15), то центральный уровень (восьмой) принимается за начало отсчета, ему соответствует t = 0. Вышестоящие уровни нумеруются с шагом — 1, нижестоящие — с шагом +1 (гр.3 табл.2).

В табл. 2 представлены необходимые вспомогательные вычисления.

Таблица 2 Расчет параметров линейной модели.

t1	t.	yt	ytt.	t2
	— 7.		— 2737.
	— 6.		— 2688.
	— 5.		— 2465.
	— 4.		— 2048.
	— 3.		— 1620.
	— 2.		— 1126.
	— 1.		— 626.
Сумма.

В соответствии с формулой (11):

Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:

Согласно этой модели оценка среднего уровня ряда при t = 0 равна 662,3 тыс. чел. Оценка среднегодового прироста численности ППП, занятого в отрасли, составляет 37,1 тыс. чел.

Для прогнозирования на базе полученной модели на одну точку вперед необходимо в нее подставить соответствующее значение временного параметра, т. е. t = 8. (Если бы оценки коэффициентов модели были получены без переноса начала координат в середину ряда, то следовало бы подставить в модель значение временного параметра t = 16).

Прогноз равен:

Таблица 3 Расчет прогнозного значения численности ППП по I модели.

t1	t.	yt	ytt	t2	у.	et
	— 7.		— 2737.		402,49.	— 11,49.
	— 6.		— 2688.		439,60.	8,40.
	— 5.		— 2465.		476,71.	16,29.
	— 4.		— 2048.		513,82.	— 1,82.
	— 3.		— 1620.		550,93.	— 10,93.
	— 2.		— 1126.		588,05.	— 25,05.
	— 1.		— 626.		625,16.	0,84.
					662,27.	3,73.
					699,38.	10,62.
					736,49.	13,51.
					773,60.	16,40.
					810,71.	— 0,71.
					847,82.	— 5,82.
					884,93.	— 4,93.
					922,04.	— 9,04.
Сумма.					959,15.

Рис. 2 Эмпирические данные и теоретические значения, полученные по I модели

Для расчета коэффициентов параболического тренда воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда (см. формулу (12)). Промежуточные вычисления представлены в табл. 3.

Таблица 4 Расчет параметров параболической модели.

t1	t.	yt	ytt	t2	yt*t2	t4
	— 7.		— 2737.
	— 6.		— 2688.
	— 5.		— 2465.
	— 4.		— 2048.
	— 3.		— 1620.
	— 2.		— 1126.
	— 1.		— 626.
Сумма.

Следовательно, уравнение параболического тренда примет вид:

Для определения прогноза показателя надо подставить в полученную модель соответствующее значение временного параметра (t = 8).

Прогноз равен:

Таблица 5 Расчет прогнозного значения численности ППП по II модели.

t1	t.	yt	ytt	t2	yt*t2	t4		et.
	— 7.		— 2737.				397,74.	— 6,74.
	— 6.		— 2688.				436,89.	11,11.
	— 5.		— 2465.				475,72.	17,28.
	— 4.		— 2048.				514,24.	— 2,24.
	— 3.		— 1620.				552,45.	— 12,45.
	— 2.		— 1126.				590,34.	— 27,34.
	— 1.		— 626.				627,92.	— 1,92.
							665,19.	0,81.
							702,14.	7,86.
							738,78.	11,22.
							775,11.	14,89.
							811,13.	— 1,13.
							846,83.	— 4,83.
							882,22.	— 2,22.
							917,29.	— 4,29.
Сумма.							918,25.	9015,75.

Рис. 3 Эмпирические данные и теоретические значения, полученные по II модели