Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы.
Коэффициенты полных затрат
Заметим, что при любой неотрицательной матрице, А утверждать существование неотрицательного решения нельзя. Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос. Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения (6). Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение. Решение (7) можно представить в развернутой форме: Запишем решение уравнения (6) в виде х… Читать ещё >
Решение балансовых уравнений с помощью обратной матрицы. Коэффициенты полных затрат (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения (6).
Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т. е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения (6) допустимым решением.
Заметим, что при любой неотрицательной матрице, А утверждать существование неотрицательного решения нельзя.
Так, например, если.
Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение.
— 0.5×1 — 0.7×2 = у1 + у2,.
которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если только у1>0 и у2>0 (кроме х1=х2=0 при у1=у2=0).
Наконец уравнение вообще может не иметь решений (система (6) — несовместная) или иметь бесчисленное множество решений (система (6) — неопределенная).
Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.
Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0, удовлетворяющий неравенству (Е — А) х>0, т. е. если уравнение (6) имеет неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для любого У>0 единственное неотрицательное решение.
При этом оказывается, что обратная матрица (Е — А) будет обязательно неотрицательной. Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство.
(ЕА)х = У,.
где вектор-план х и ассортиментный вектор У определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У>0. Таким образом, уравнение (6) имеет одно неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение (6) всегда имеет допустимый план и матрица (Е — А) имеет обратную матрицу. Обозначив обратную матрицу (Е — А)-1 через.
S = || sik+ ||,.
запишем решение уравнения (6) в виде х = SУ (7).
Если будет задан вектор — конечный продукт У и вычислена матрица S = (E — A)-1, то по этой формуле может быть определен вектор-план х.
Решение (7) можно представить в развернутой форме:
x1 = S11y1 + S12y2 + … + S1nyn.
x2 = S21y1 + S22y2 + … + S2nyn (8).
xn = Sn1y1 + Sn2y2 + … + Snnyn.