Последовательности моделей оценивания плотностей

Будем изучать асимптотику последовательностей пространств с мерами (с целью в дальнейшем рассмотреть последовательности конечных пространств). Введем новый параметр m и рассмотрим последовательность пространств с мерами (Z_m, p_m) и соответствующих функций F_m(x, t), задающих зависимость мер шаров с центром в точке x из Z_m от радиуса t,.

F_m(x, t) = p_m{y: d_m(x, y) < t}, m = 1, 2, …, (1).

где d_m — мера близости в Z_m (здесь мы несколько модернизируем обозначения, использованные в формулах (6) и (7) статьи [4]). Предположим, что.

(2).

Рассмотрим также плотности f_m в пространствах (Z_m, p_m), задающие непараметрические оценки плотности с ядрами K_m, m = 1, 2, … Укажем условия, при которых полученные в статьях [3, 4] результаты оказываются асимптотически (при и) справедливыми для последовательности вероятностных моделей оценивания плотности, задаваемых кортежами (Z_m, p_m, d_m, f_m, K_m).

Поскольку вместо одной плотности f появляется последовательность плотностей f_m, то условия на плотность, в частности, условие (IV) статьи [3], необходимо изменить. Пусть выполнено следующее условие.

(IX) Для любого существует такое, что, если .

Для упрощения рассуждений наложим на ядра K_m условие равномерной финитности и ограниченности.

(X) Существуют константы D и E такие, что |K_m(t)| < D при всех t > 0 и K_m(t) = 0 при T > E.

Рассмотрим ядерные оценки f_nm(x) плотностей f_m(x), которые будем изучать,.

, (3).

где K_m = K_m(u) — ядра (ядерные функции), h_n — последовательность положительных чисел (показателей размытости), b_m(h_n, x) — нормировочные множители. Согласно формулам (1) и (4) статьи [3].

. (4).

Повторим проведенные ранее в статьях [3, 4] рассуждения, отмечая новые моменты, связанные с введением параметра m.

Согласно условию (X) в определении f_nm(x) участвуют лишь те элементы выборки X_i, для которых.

d_m(x, X_i) < Eh_n. (5).

Правая часть неравенства (5) задает радиус окрестности U (x) точки x пространства Z_m (в смысле меры близости d_m), рассмотрением которого достаточно ограничиться.

Примем, как и в [3, 4], что при показатель размытости.

. (6).

Тогда радиус рассматриваемой окрестности стремится к 0. В силу (2) при предельная функция имеет вид Fx (t) = t. Положим.

F_m(x, t) = F_x(t) + H_m(x, t). (7).

Тогда.

. (8).

Нам понадобится соотношение (8) для g = K_m, g = |K_m|, g = |K_m|², а качество аппроксимации будет определяться скоростью сходимости к 0 при, .

Имеем согласно (4), условию (X) и (8):

. (9).

Примем.

. (10).

Аналогично (9) имеем.

. (11).

Для справедливости формулы (9) статьи [4] и условия (V) статьи [3] достаточно, чтобы.

(12).

поскольку согласно условию (X).

. (13).

Теорема 1. Если выполнены условия (IX), (X) и справедливы соотношения (6), (10), (12), то разность математических ожиданий оценок Mf_nm(x) и плотностей f_m(x) равномерно стремится к 0 при, :

. (14).

Доказательство. Возьмем и согласно условию (IX) выберем, обладающее указанным в этом условии свойством. Пусть Eh_n n₀. Согласно условию (X) и соотношению (11) статьи [3].

(15).

где функции g_nm(x) определены формулой (4) статьи [3]. При n > n₀ согласно соотношению (12) статьи [3], формулам (9) и (11).

. (16).

Из (10) и (12) следует, что правая часть (16) не превосходит, где F = const, равномерно по всем x из Z_m и n > n₀, откуда и вытекает (14). Теорема 1 доказана.

Согласно соотношению (12) статьи [4] для существования дисперсии у оценки f_nm(x) достаточно справедливости условия.

. (17).

Учитывая (8) — (10), получаем.

. (18).

Теорема 2. Пусть дополнительно к условиям теоремы 1.

. (19).

Тогда.

. (20).

Доказательство проводится аналогично доказательству теорем 6 и 7 статьи [4].

Как видно из проведенных выше рассуждений, при рассмотрении последовательностей моделей оценивания плотностей в пространствах с мерой принципиально новыми являются условия.

(21).

где gm = Km, gm = |Km|, gm = |Km|2 (ср. (8)). С помощью замены переменных u = t/hn от (21) перейдем к условиям.

(22).

т.е. к условиям.

. (23).

Введем условие.

. (24).

В [1, с.230] показано, что для вывода (23) из (24) необходимо и достаточно (в указанном там смысле), чтобы функции g_m (u) были равностепенно (по m) интегрируемы по Риману. В частности, достаточно, чтобы они были равностепенно непрерывными.

Теорема 3. Соотношения (10), (12), (19) выполнены, если ядерные функции K_m равностепенно непрерывны и справедливо (24).

Требование равностепенной непрерывности связано с тем, что ядра K_m могут зависеть от параметра m. В приложениях обычно достаточно положить K_m = K и вместо условия (X) принять условие (X'):

(X') Ядро — непрерывная финитная функция.

Рассмотрим примеры применения развитой выше теории для построения ядерных оценок плотности в конкретных дискретных пространствах.