Удвоение куба. 
Три великие задачи древности

К кубическому уравнению сводится и знаменитая «делосская задача» удвоения куба. Свое название она получила от острова Делос в Эгейском море, где, по легенде, чтобы избавить жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить алтарь, имевший форму куба. Но в действительности она, наверное, возникла в умах математиков как обобщение задачи об удвоении квадрата. Для того чтобы построить квадрат вдвое большей площади, чем данный, достаточно провести у данного квадрата диагональ и принять ее за сторону нового квадрата.

Задача об удвоении куба оказалась существенно более трудной. Если обозначить через а длину стороны исходного куба, а через хдлину стороны вдвое большего куба, то получим соотношение х³ = 2а³-снова кубическое уравнение. В 1837 г. тот же П. Ванцель доказал, что невозможно построить с помощью только циркуля и линейки отрезок, в корень кубический из 2 раз больший данного, т. е. подтвердил неразрешимость задачи удвоения куба.

Удвоение куба — так называется третья классическая задача древнегреческой математики. Эта задача наряду с двумя первыми сыграла большую роль в развитии математических методов.

Задача состоит в построении куба, имеющего объем, вдвое больший объема данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должна удовлетворять уравнению х³ = 2а³.

Задача является естественным обобщением аналогичной задачи об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2а², служит отрезок длиной равной диагонали данного квадрата со стороной а. Наоборот, удвоение куба — задача не простая, так как ребро куба, объем которого равен 2а³ не может быть построен с помощью циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в.

Задача об удвоении куба носит также название «делосской задачи» в связи со следующей легендой.

На острове Делос (в Эгейском море) распространилась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавиться от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объем не в 2 раза, а в 8 раз. Чума еще больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…».

Рис. 6.

Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенника не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией».

Задачей удвоения куба еще в V в. до н. э. занимался Гиппократ Хиосский, который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два средних пропорциональных» отрезка х, у между данными отрезками а, b, т. е. найти х и у, которые удовлетворяли бы следующей непрерывной пропорции:

а: х = х: у = у: b. (1).

Суть одного механического решения задачи об удвоении куба, относящегося к IV в. до н. э., основано на методе двух средних пропорциональных. Отложим на стороне прямого угла отрезок АО | == а, где, а — длина ребра куба (рис. 6), а на другой его стороне — отрезок ОВ = 2а. На продолжениях сторон прямого угла стараемся найти такие точки М и N, чтобы (AM) и (BN) были перпендикулярны к (MN); тогда |ОM|(x) и ON (y) будут двумя средними пропорциональными между отрезками АО и |ВО|. Для этого устраивается угольник с подвижной линейкой. Линейку располагают так, как показано на рисунке. Имеем:

Это значит, что отрезок ОМ искомый. Архит Тарентский дал интересное стереометрическое решение «делосской задачи». После него, кроме Евдокса, дали свои решения Эратосфен, Никомед, Аполлоний, Герон, Папп и др. Решение вышеизложенных трех задач долго разыскивалось и безрезультатно лишь потому, что ставились условия применения только циркуля и линейки.