Числовые характеристики случайной величины

Знание дифференциальной и интегральной функций распределения вероятностей позволяет установить полную характеристику случайной величины (СВ).

Однако, в ряде случаев достаточно знать о СВ ее числовые характеристики, которые в теории вероятности называют моментами распределения. [7].

Простейшей числовой характеристикой СВ является момент первого порядка, который часто называют математическим ожиданием или средним значением СВ. В соответствии с определением среднее значение СВ будет равно:

Применение формулы (7) для практических расчетов затруднено, так как неизвестны вероятности P_iпоявления x_i, поэтому часто вместо формулы (7) пользуются определением m₁(x) в предположении, что любые значения x_i равновероятны, и тогда m₁(x) определятся как среднеарифметическое значение:

Данная оценка носит название выборочной оценки и требует уточнения при заданном законе распределения W (x):

В качестве примера найдем m₁(x) для нормальной случайной величины по формуле (9):

На практике исследование начальных моментов m_k(x) вычисляют до четвертого порядка: m₁, m₂, m₃, m₄ этих данных для определения СВ достаточно.

Наряду с начальными моментами вычисляют и центральные моменты, которые определяются относительно среднего значения СВ m₁. Введем обозначения для центральных моментов:

При обработке экспериментальных данных по ограниченному массиву чисел можно получить оценки числовых моментов СВ, которые необходимо уточнить путем распределения границ изменения этих моментов с заданной вероятностью — то есть определить доверительные интервалы.

На практике необходимо решить следующие две задачи:

• 1. определить доверительные интервалы для среднего значения нормального распределения СВ при условии, что известно у;
• 2. определить доверительные интервалы для среднего квадратичного отклонения — у.

Иными словами, интервал 2у центром которого является оценка параметра, а и в котором с вероятностью б заключено истинное значение СВ, называют доверительным интервалом.