Характеристики надежности сложных технических систем

При анализе характеристик различных технических устройств в литературе широко используют понятие «система», под которым в самом общем смысле понимают набор объектов с определёнными свойствами, а также набор связей между выделенными объектами. Границы системы определяет, как правило, исследователь в соответствии с целью, которая поставлена пред ним. Всё что находится за пределами границ системы, называется окружающей средой, которая может оказывать непреднамеренно мешающее воздействие на систему.

Отдельные объекты системы называют также системными элементами. В теории надёжности под элементом обычно понимают такую часть системы, надёжность которой в процессе функционирования может быть рассмотрена независимо от надёжности входящих в эту часть более простых составляющих. Так, например, котлоагрегат, турбина, сетевой подогреватель могут рассматриваться как элементы более сложной системы ТЭЦ, а сама ТЭЦ является элементом более сложной системы теплоснабжения района.

С другой стороны, при анализе надёжности, например, котлоагрегата его поверхности теплообмена, коллекторы, арматура, устройства подачи топлива выступают в роли элементов. Учитывая условность деления системы на элементы, часто в теории надёжности используют обобщающие понятия устройство, изделие или объект, которые относят к любой заранее выделенной и функционально самостоятельной части системы. Ниже чаще всего будет использоваться понятие объект, который может состоять из элементов.

Объекты и их элементы в теории надёжности делят на восстанавливаемые и невосстанавливаемые. Невосстанавливаемый объект работает до первого отказа, а восстанавливаемый после устранения последствий отказа может использоваться по назначению. Это деление также в определённой мере условно так как, например, течь трубной системы конденсатора является отказом, в результате которого прекращается работа турбины и проводятся восстановительные работы (устранение отказа). Следовательно, при таком отказе конденсатор и турбоагрегат в целом выступают как восстанавливаемые объекты. Но если исследовать безотказность объекта только до наступления первого отказа, то в таком случае течь трубной системы может характеризовать надёжность данного турбоагрегата как невосстанавливаемого объекта.

В теории надёжности при анализе свойств объектов считают, что все показатели надёжности являются функцией непрерывной величины — времени. Допустим, что в момент времени t = 0 объект находился в работоспособном состоянии, а при наработке t = tот наступил отказ. Это позволяет считать tот непрерывной случайной величиной, удовлетворяющей неравенству. Последнее неравенство даёт основание получить функцию, которая называется вероятностью отказа. Одновременно из теории вероятностей известно, что является функцией распределения случайной величины tот.

Если рассмотреть вероятность того, что время безотказной работы объекта окажется больше заданного времени t, то получим выражение.

.

которое определяет один из основных показателей надёжности вероятность безотказной работы.

При любом значении наработки t объект может быть только работоспособным или потерявшим работоспособность. Следовательно, вероятность того, что он находится в одном из двух состояний, равна вероятности достоверного события.

.

Как уже отмечалось, вероятность отказа Q (t) (иначе функция ненадёжности) по определению аналогична функции распределения непрерывной случайной величины, которая, как известно, есть возрастающая функция. Тогда из (1.2) следует, что вероятность безотказной работы есть убывающая функция, т. е.

.

Примерный вид функций P (t) и Q (t) показан на рис. 1. Как следует из рис. 1, уменьшение вероятности безотказной работы P (t) может рассматриваться как снижение с увеличением наработки количества работоспособных объектов. Соответственно, величина Q (t) показывает рост с увеличением наработки числа отказавших объектов.

Вероятность безотказной работы P (t) может быть определена приближённо на основе анализа эксплуатационных данных или по результатам испытаний большого количества N однотипных объектов. Если обозначить Nот (t) число отказавших в момент времени t объектов, а Nи (t) — число исправных в этот же момент времени объектов, то при N отношение Nи (t)/N P (t). Таким образом, при фиксированном N получим.

Nи (t)/N? P (t).

Непрерывная случайная величина tот характеризуется, кроме указанных интегральных показателей, величиной плотности распределения или плотностью вероятности отказов f (t). Как известно из теории вероятностей, плотность распределения непрерывной случайной величины есть функция, равная пределу отношения вероятности того, что случайная величина находится в каком-то малом интервале, к ширине этого интервала.

.

При t0 можно записать, что.

Примерное положение кривой f (t) в зависимости от наработки показано на рис. 2.

Как следует из рис. 2 площадка под кривой f (t), ограниченная снизу отрезком t на оси абсцисс, численно равна вероятности отказа в интервале t. Точнее, приближается к ней при t > 0.

Приближённо определить значение функции f (t) можно опытным путём для отдельных интервалов наработки (t, t+t).

.

Рис. Плотность вероятности отказов

где Nот (t, t+t)/N приближённая оценка вероятности отказа за время t, а Nот (t, t+t) — число отказов в интервале (t, t+t). Чем больше N и меньше t, тем точнее формула (6).

Вероятность отказа за время t есть интеграл от f (t), взятый для интервала от 0 до t:

.

Очевидно, что если t =, то вероятность отказа равна единице. Из этого следует, что вся площадь под кривой f (t) всегда равна единице. Но раз, то можно записать, что.

.

Из теории вероятностей известно, что плотность распределения есть производная от функции распределения F (t). С учётом этого из (5), (7) следует, что в теории надёжности функция распределения случайной величины имеет смысл вероятности отказа, т. е. F (t) = Q (t), и 1- F (t) = P (t).

Одной из важнейших характеристик надёжности является интенсивность отказов. Эта характеристика оценивает вероятность отказа в интервале (t, t+t) тех объектов, которые безотказно проработали время t, т. е. до начала данного интервала. Функция интенсивности отказов может быть определена следующим образом.

.

где — вероятность отказа в интервале (t, t+t) для объектов безотказно проработавших время t.

На основе эксплуатационных или опытных данных можно приближённо оценить интенсивность отказов следующим образом.

.

где — количество отказов в интервале (t, t+t);

Nисп (t) — число исправных объектов на начало интервала;

— оценка вероятности отказа в интервале (t, t+t) тех объектов, которые благополучно проработали время t.

Интенсивность отказов характеризует надёжность в каждый данный момент времени. Поэтому её иногда называют опасностью отказа. Так как (t) определяет надёжность только тех объектов, которые безотказно проработали время t, то она имеет смысл условной (апостериорной) вероятности. Если рассмотреть вероятность отказа, определяемую площадью под кривой плотности распределения (рис.2) f (t)· t, то можно убедиться в том, что она характеризует вероятность отказа любого из множества рассматриваемых объектов (априорная вероятность).

Между показателями надёжности P (t), f (t) и (t) существует определённая связь. Предположим, что испытываются N объектов и в момент времени t часть из них Nот (t) отказали, а Nисп (t) остались работоспособными. Таким образом, справедливо равенство N = Nисп (t) + Nот (t), с учётом которого можно записать.

P (t) = [N — NOT (t) ] /N = 1 — Nот (t) /N,.

где Nот (t) /N? Q (t).

Дифференцируя уравнение (1.11) по времени можно получить.

.

Правая часть уравнения (12) как это следует из (6) по абсолютной величине есть предел выражения для плотности распределения f (t).

.

Умножив и разделив правую часть дифференциального уравнения (12) на Nисп (t) получим.

.

Произведение в правой части состоит из двух сомножителей, первый из которых есть приближённая оценка вероятности безотказной работы P (t) (см. (3)), а второй есть оценка интенсивности отказов (t) (см. (10)). Таким образом, на основании (14) можно утверждать справедливость равенства.

= -P (t)(t).

(t) = - P'(t)/P (t) .

Формула (15а) даёт наиболее общее выражение для вычисления интенсивности отказов. Связь между интенсивностью отказов и плотностью распределения видна из сравнения выражений (13) и (15), откуда следует.

f (t) =P (t)(t) .

Если в выражении (15а) разделить переменные и проинтегрировать (t) в пределах от 0 до t и соответственно dP (t)/P (t) от 1 до P (t), то можно получить вероятность безотказный надежность работоспособный.

.

Так как.

получаем или.

.

Формула (17) определяет вероятность безотказной работы через интенсивность отказов в общей форме. При этом предполагается, что (t) интегрируемая функция времени наработки. Эта формула широко используется в теории надёжности.

Среди показателей надёжности, наиболее широко применяемых на практике, выделяется среднее время безотказной работы или наработка на отказ Т. По смыслу Т это математическое ожидание непрерывной случайной величины — наработки до отказа. Из теории вероятностей известно, что математическое ожидание определяется интегралом.

.

Так как случайная величина tот существует только на положительной полуоси, то

.

После интегрирования по частям получим.

.

Первое слагаемое в (18) при равно нулю, так как функция при конечных значениях (t) быстрее стремится к нулю, чем параметр t. Следовательно, среднее время безотказной работы определяется по формуле.

.

Статистическая оценка Т при испытании всех N объектов до отказа выполняется по формуле.

.

Чем больше N, тем точнее (20) приближается к Т.

Показатели надёжности

Под показателем надёжности обычно понимают величину или совокупность величин, характеризующих качественно или количественно степень приспособленности систем к выполнению поставленной задачи при применении по назначению. Рассматривают в зависимости от цели исследования качественные, порядковые и количественные показатели надёжности.

Качественные показатели надёжности не выражаются в виде числа и не позволяют обосновать предпочтение одного объекта перед конкурирующим. Они дают возможность отличить один объект от другого, но не позволяют сравнивать их по степени выполнения основных функций. Применение только качественных показателей ограничивает возможности применения методов теории надёжности.

Порядковые показатели надёжности позволяют обосновать предпочтение одного из вариантов системы при их сравнении без количественной оценки степени предпочтения. Они дают возможность расположить в ряд по степени возрастания надежности исследуемые варианты систем, но не позволяют оценить, на какую величину отличаются достигнутые уровни рассматриваемых вариантов.

Количественные показатели надёжности содержат информацию, обеспечивающую оценку предпочтения одного варианта системы перед другим, и выражают надёжность в виде числа. Количественные показатели получают путём обработки результатов наблюдений за работой при использовании объектов по назначению или в ходе их специальных испытаний. Они могут быть получены также расчётным путём или при моделировании процесса функционирования объектов. Количественные показатели надёжности являются основными показателями надёжности, обобщающими наиболее ценную информацию о степени приспособленности объекта к применению по назначению. Государственный стандарт под показателем надёжности понимает только количественную характеристику одного или нескольких свойств, составляющих надёжность. Стандартом вводится в практику использования шесть видов показателей надёжности:

• — единичный,
• — комплексный,
• — расчётный,
• — экспериментальный,
• — эксплуатационный,
• — экстраполированный.

Показатели безотказности

Вероятность безотказной работы — вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет.

Гамма — процентная наработка до отказа - наработка, в течение которой отказ объекта не возникнет с вероятностью, выраженной в процентах.

Все гамма — процентные показатели по смыслу являются квантилями соответствующих распределений. Так, например, гамма — процентная наработка до отказа t определяется как корень уравнения.

где F (t) — функция распределения наработки до отказа.

Для показателей безотказности величину задают следующими значениями: 90; 95; 99; 99,5% и т. д. Вероятность возникновения отказа на отрезке [0; t] будет составлять 0,10; 0,05; 0,01; 0,005 и т. д. Для того чтобы критические отказы объектов в эксплуатации были маловероятны, значения для таких отказов должны задаваться близкими к 100%. Напомним, что критичность отказа характеризуется признаками, определяющими последствия отказа. Это могут быть величины прямых или косвенных потерь, связанных с наступлением отказа, или трудоёмкости восстановления объекта после отказа. Такие признаки согласовываются между производителем и заказчиком и приводятся в нормативно-технической документации.

Средняя наработка до отказа — математическое ожидание наработки объекта до первого отказа. Для вычисления средней наработки до отказа Т применяют формулы (19), (20).

Средняя наработка на отказ — отношение суммарной наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки.

Это показатель введён для восстанавливаемых объектов, при эксплуатации которых допускаются многократно повторяющиеся отказы, которые не вызывают серьёзных последствий и не требуют больших материальных затрат на восстановление работоспособности. На оси времени моменты отказов образуют поток отказов, а моменты восстановлений — поток восстановлений. Средняя наработка на отказ вычисляется по формуле.

.

где t — суммарная наработка;

r (t) — число отказов, наступивших в течение этой наработки;

M{r (t)}- математическое ожидание числа отказов.

Интенсивность отказов — условная плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник. Для определения интенсивности отказов используются формулы (10), (15а).

Параметр потока отказов — отношение математического ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за достаточно малую его наработку к значению этой наработки. Параметр потока отказов (t) определяют по формуле.

,.

где t — малый отрезок наработки;

r (t) — число отказов, наступивших от начального момента времени до достижения наработки t.

Разность r (t+t) — r (t) представляет собой число отказов на отрезке t.

Статистическую оценку параметра потока отказов определяют по формуле.

.

Осреднённый параметр потока отказов — отношение математического ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за конечную наработку к значению этой наработки. Для осреднённого параметра потока отказов применяют зависимость.

.

Как следует из определений показателей безотказности, все они являются вероятностными характеристиками. Каждый из показателей имеет статистический аналог, который может быть получен методами математической статистики.

Показатели долговечности

Продолжительность работоспособного состояния объекта характеризуется четырьмя показателями.

Гамма — процентный ресурс — суммарная наработка, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с вероятностью, выраженной в процентах.

Средний ресурс — математическое ожидание ресурса.

Гамма — процентный срок службы — календарная продолжительность эксплуатации, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с вероятностью, выраженной в процентах.

Средний срок службы — математическое ожидание срока службы.

Из смысла показателей долговечности следует, что они становятся корректными только в том случае, если указываются начало отсчёта и вид действий после наступления предельного состояния. Обычной является, например, такая формулировка: гамма — процентный ресурс между капитальными ремонтами котлоагрегата равен 50 тысяч часов. В том случае, если показатели долговечности отсчитываются от ввода объекта в эксплуатацию до окончательного прекращения эксплуатации они имеют дополнительное название «полный», например, полный ресурс, полный гамма-процентный срок службы и т. п.

Показатели безотказности и долговечности обладают наибольшей ценностью в том случае, если они применяются к конкретно взятому индивидуальному объекту. Однако существует определённая сложность в определении этих показателей, так как из практики эксплуатации однотипных объектов известно, что наработка до отказа, наработка между отказами, ресурс и другие показатели обнаруживают значительный статистический разброс. Это вызвано неоднородностью материалов конструкции, отклонениями в технологии изготовления, различием в условиях эксплуатации и многими другими причинами, которые часто не контролируются как при изготовлении, так и при эксплуатации. Поэтому показатели, полученные для однородного множества объектов, при оценке надёжности конкретного объекта всегда по существу являются интервальными (приближёнными) оценками. Не вдаваясь в детали различия между точечными и интервальными оценками показателей надёжности, заметим, что нормативные документы тяготеют к точечным оценкам, подтвердить которые на практике не всегда возможно.

Показатели ремонтопригодности

Для оценки ремонтопригодности в ГОСТ 27.002 -89 предусмотрено пять показателей.

Вероятность восстановления — вероятность того, что время восстановления работоспособного состояния объекта не превысит заданное значение.

Гамма — процентное время восстановления — время, в течение которого восстановление работоспособности объекта будет осуществлено с вероятностью, выраженной в процентах.

Среднее время восстановления — математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния объекта после отказа.

Интенсивность восстановления - условная плотность вероятности восстановления работоспособного состояния объекта, определённая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента восстановление не было завершено.

Средняя трудоёмкость восстановления — математическое ожидание трудоёмкости восстановления объекта после отказа.

Как следует из приведённых показателей, в них не учитываются затраты времени, труда и материальных средств на проведение технического обслуживания и ремонта. Эти затраты, как правило, указываются в ведомственных документах, которые учитывают специфику конструкции объекта и поэтому имеют нормативную силу только внутри ведомства или для определённых объектов.