Описание уравнения растекания потока

Определение параметров свободного растекания потока за водопропускными отверстиями в широкое отводящее русло имеет важное прикладное значение для проектирования сооружений дорожного водоотвода. При этом полагают дно отводящего русла горизонтальным, а поток двухмерным в плане.

В работах [1, 2, 3] показано, что силами сопротивления потоку в области крепления отводящего русла можно пренебречь. Поэтому дополнительно полагаем поток потенциальным и стационарным. Выводы применимости полученного результата сделаем по степени адекватности модели и реального потока по его параметрам.

Для формулировки задачи в физической плоскости течения сформулируем свойства бурного потока. Известны параметры на выходе потока из прямоугольного безнапорного отверстия в широкое отводящее русло: поток водоотвод русло растекание.

глубина потока;

модуль вектора скорости;

ширина выходного отверстия.

Перейдем от физической плоскости течения потока [4, 5] к использованию уравнений движения потока в плоскости годографа скорости. Система уравнений движения потока в плоскости годографа скорости представлена в форме [6]:

(1).

где: потенциальная функция;

функция тока;

угол между вектором скорости жидкой частицы потока и осью ОХ;

нормированный модуль вектора скорости.

В работе [7] получено уравнение крайней линии тока в виде.

(2).

Найдем уравнение для произвольной эквипотенциали. Воспользуемся сначала первым уравнением из (1). Для этого найдем из (2).

(3).

Подставим выражение (3) в первое уравнение системы (1), получим уравнение.

или.

(4).

Интегрирование уравнения (4) по переменной приводит к зависимости.

(5).

где неизвестная функция по переменной .

Для нахождения воспользуемся вторым уравнением системы (1).

Вычисляем производную по от потенциальной функции в форме (5).

(6).

Найдем производную.

(7).

Подставим выражения (6) и (7) во второе уравнение системы (1), получим.

(8).

Нетрудно видеть, что после упрощений уравнение (8) преобразуется к виду.

(9).

Таким образом, искомое выражение для потенциальной функции имеет вид.

(10).

Функция (10) является решением уравнения (1) при любом значении постоянной, в частности, при Значение константы может быть определено в конкретной двухмерной плановой задаче.

Изучим поведение каждого из слагаемых, входящих в выражение для потенциальной функции. Пусть Представим потенциальную функцию в форме.

;

Рассмотрим отношение.

(12).

Найдем значение величины.

(13).

Упростим правую часть равенства (12).

(14).

Как известно из [1], вниз по течению потока, соответственно в выражении, что нетрудно видеть из (14), числитель стремится к нулю, а знаменатель всегда отличен от нуля. Таким образом, при, то есть вниз по течению потока в формуле (11) влияние первого слагаемого становится преобладающим.

Плановые задачи гидравлики решаются также и численными методами [8, 9, 10], однако аналитические методы решения двухмерных плановых задач позволяют более глубоко и всесторонне изучить свойства двухмерных бурных потоков.

1. Выражение для потенциальной функции в виде (11) соответствует качественно и количественно экспериментальным данным (неразрывности по параметрам потока, адекватности модели).

2. Роль слагаемого в выражении (11) асимптотически уменьшается с ростом вниз по течению потока.

• 1. Коханенко, В. Н. Моделирование одномерных и двухмерных открытых водных потоков [Текст]: монография / В. Н. Коханенко, Я. В. Волосухин, В. В. Ширяев, Н. В. Коханенко; под общей ред. В. Н. Коханенко. — Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2007. — 168 с.
• 2. Ширяев, В. В. Развитие теории двухмерных открытых водных потоков [Текст]: монография / В. В. Ширяев, М. Ф. Мицик, Е. В. Дуванская: под общей ред. В. В. Ширяева. — Шахты: Изд-во ЮРГУЭС, 2007. — 133 с.
• 3. Takeda, R. Theoretical research an propeller type current meters [Текст] / R. Takeda // Trans. ASME. — 1975, A. 97, № 4. — Р. 599−602.
• 4. Мицик, М. Ф. Моделирование потенциальной функции двухмерного планового потока в параметрической форме [Текст] // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. VI межд. науч. конф. / Под общей ред. В. С. Балакирева. — РТАСМ ГОУ, Ростов н/Д, 2003. — Т. 7, секция 7. — С. 103−104.
• 5. Мицик, М. Ф. Растекание двухмерного планового потока в нижнем бьефе водопропускных сооружений [Текст]: дисс. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. — Новочеркасск, 2006. — 238 с.
• 6. Косиченко, Н. В. Анализ изучения и уточнения методов свободного растекания потока за безнапорными водопропускными отверстиями [Текст] / Н. В. Косиченко // Вестник СГАУ. — Саратов, 2011, № 9. — С. 27−33.
• 7. Коханенко В. Н., Мицик М. Ф., Косиченко Н. В. Уточненное уравнении крайней линии тока в плоскости годографа скорости в задаче свободного растекания бурного потока за безнапорными водопропускными трубами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2013. № 1. С. 33−35.
• 8. Takeda, R. The influence of turbulence on the characteristic of the propeller current meters [Текст] / R. Takeda, M. Kawanami // Trans. Soc. Mtch. Eng.- 1978, № 383. — V. 44. — P. 2389- 2394.
• 9. Онишкова А. М. Численное решение задачи для плоской области со свободной границей. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, № 4. — Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4p1y2012/1205 (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.
• 10. Хекмат К. Двумерная математическая модель жидкости водоема с учетом наличии на поверхности ледяной пластины [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2011, № 4. — Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4y2011/583 (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.