Исследование цепей постоянного тока

Задание: рассчитать токи в схеме следующими методами:

• а) метод контурных токов;
• б) метод узловых потенциалов.

проверить законы Кирхгофа;

рассчитать ток I₁ методом эквивалентного генератора;

проверить баланс мощности;

построить векторную диаграмму для контура, содержащего два источника Э.Д.С.

ток потенциал контурный генератор

E₄ E₅

R₄ R₅

I₄ I₃ I₅ R₆

E₃ R₃

J_k1 1 2.

I₆

R₁ R₂

J_k2 I₁ I₂ J_k3 E₆

E₁ E₂

R₁ = 80 Ом E₁ = 0 В.

R₂ = 30 Ом E₂ = 50 В J_k1 = 7 A.

R₃ = 90 Ом E₃ = 0 В J_k2 = 0 A.

R₄ = 40 Ом E₄ = 0 В J_k3 = 0 A.

R₅ = 10 Ом E₅ = 0 В.

R₆ = 40 Ом E₆ = 400 В.

Расчет методом контурных токов

Рассчитаем собственные токи.

I₄ I₅

R₄ R₅

I₃ R₆

R₃

J_k1

I₆

R₁ R₂

I₁ I₂ E₆

E₂

I₁ = I₂₂ + J_k1

I₂ = -I₂₂ + I₃₃

I₃ = I₁₁ — I₂₂

I₄ = I₁₁ — J_k1

I₅ = -I₁₁ + I₃₃

I₆ = I₃₃

Рассчитаем собственные сопротивления контуров и сопротивления, находящиеся на границе контуров:

R₁₁ = R₃ + R₄ + R₅ = 90 + 40 + 10 = 140 Ом.

R₂₂ = R₁ + R₂ + R₃ = 80 + 30 + 90 = 200 Ом.

R₃₃ = R₂ + R₅ + R₆ = 30 + 10 + 40 = 80 Ом.

R₁₂ = R₂₁ = R₃ = 70 Ом.

R₂₃ = R₃₂ = R₂ = 50 Ом.

R₁₃ = R₃₁ = R₅ = 50 Ом Рассчитаем сумму Э.Д.С., действующих в контуре:

E₁₁ = J_k1R₄ = 7 40 = 280 B.

E₂₂ = J_k1R₁ — E₂ = (7 80)-50 = 510 B.

E₃₃ = E₆ + E₂= 50 + 400 = 450 B.

Cоставим матрицы сопротивлений и Э.Д.С.:

R₁₁ R₁₂ R₁₃ 140 -90 -10 E_a 280.

R = R₂₁ R₂₂ R₂₃ = -90 200 -30 E = E_b = 510.

R₃₁ R₃₂ R₃₃ -10 -30 80 E_c 450.

Рассчитав определители данных ниже матриц, находим контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃ по приведенным ниже формулам.

I₁₁ = 7,305А.

I₂₂ = 7,224 А.

I₃₃ = 9,247 А Находим токи в ветвях:

I₁ = 0,224А.

I₄ = 0,305 А.

I₂ = 2,023 А.

I₅ = 1,942 А.

I₃ = 0,081 А.

I₆ = 9,247 A.

Расчет методом узловых потенциалов

I₄ I₅

R₄ R₅

I₃ R₆

R₃

J_k1 1 3.

I₆

R₁ R₂

I₁ I₂ E₆

E₂

Составим собственные, меж узловые проводимости и собственные токи узлов.

G₁₁ = 1/R₁ + 1/R₃ + 1/R₄ = 1/80 + 1/90 + 1/40 = 0,48 611 См.

G₂₂ = 1/R₄ + 1/R₅ + 1/R₆ = 1/70 + 1/50 + 1/80 = 0,15 См.

G₃₃ = 1/R₂ + 1/R₃ + 1/R₅ = 1/10 + 1/50 + 1/50 = 0,14 444 См.

G₁₂ = G₂₁ = 1/R₄ = 0,025 См.

G₂₃ = G₃₂ = 1/R₅ = 0,1 См.

G₁₃ = G₃₁ = 1/R₃ = 0,1 111 См.

I₁₁ = 0 А.

I₂₂ = -E₆/R₆ +J_k1= -3 А.

I₃₃ = E₂/R₂ = 1,6667 А.

• 1*G_{11 — 2*G12 — 3*G13 = I11}
• -₁*G₂₁ + ₂*G₂₂ — ₃*G₂₃ = I₂₂
• -₁*G₃₁ — ₂*G₃₂ + ₃*G₃₃ = I₃₃

Составим расширенную матрицу, состоящую из проводимостей и токов, решив которую найдем потенциалы узлов.

G₁₁ -G₁₂ -G₁₃ I₁₁ 0,486 111 — 0,025 — 0,1 111 0.

— G₂₁ G₂₂ -G₂₃ I₂₂ = - 0,025 0,15 — 0,1 -3.

— G₃₁ -G₃₂ G₃₃ I₃₃ — 0,111 111 — 0,1 0,1444 1,666.

• 1 = -17,931 В
• 2 = -30,115 В
• 3 = -10,69 В

I₁ = (₄ — ₁)/R₁ = 17,931/80=0,2241 A.

I₂ = (₄ — ₃ + E₂)/R₂ = (10,69 — 50)/30 = 2,023 А.

I₃ = (₃ — ₁)/R₃ = (-10,69 + 17,931)/90 = 0,0805 A.

I₄ = (₁ — ₂)/R₄ = (-17,931 + 30,115)/40 = 0,3046 A.

I₅ = (-₂ + ₃)/R₅ = (-10,69 + 30,115)/10 = 1,9425 A.

I₆ = (₂ —₄ + E₆)/R₆ = (-30,115−0+400)/40 = 9,247 A.

Проверка токов по закону Ома:

Для 1-ого узла: I₁ + I₃ — I₄ = 0.

Для 2-ого узла: I₄ + I₅ + J_k1 — I₆ = 0.

Для 3-ого узла: I₅ + I₃ — I₂ = 0.

Для 4-ого узла: I₁ + I₂ +J_k1— I₆ = 0.

Таблица токов.

Баланс мощности.

=.

=(0,224)²80+(2,023)²30+(0,081)²90+(0,305)²40+(1,942)²10+(9,247)²40 =3589,095 Вт.

= U₂₄=₂ —₄

=2.023 50+9,247 400+7 (-30,115)=3589,145 Вт Расчет I₁ методом эквивалентного генератора.

I₄ I₅

R₄ R₅

I₃ R₆

R₃

J_k1 1¹ 2.

I₆

U_хх R₂

I₂ E₆

E₂

• 1*G_{11 — 2*G12 = I11}
• -₁*G₂₁ + ₂*G₂₂ = I₂₂

Определяем собственные и взаимные проводимости.

G₁₁ = 1/(R₃+ R₄)+ 1/R₅ + 1/R₆ = 1/(90+40) + 1/10 + 1/40 = 0,132 692 См.

G₁₂ = 1/ (R₃+ R₄)+ 1/R₅ = 1/70 + 1/(90+40) + 1/10 = 0,107 692 См.

G₃₃ = 1/(R₃+ R₄)+ 1/R₂ + 1/R₅ = 1/ (90+40) + 1/10 + 1/30 = 0,1 410 256 См.

I₁₁ = J_k1 -E₆/R₆ = -3 А.

I₂₂ = E₂/R₂ = 1,6 666 667 А.

• 1*G_{11 — 2*G12 — 3*G13 = I11}
• -₁*G₂₁ + ₂*G₂₂ — ₃*G₂₃ = I₂₂

Составим расширенную матрицу, состоящую из проводимостей и токов, решив которую найдем потенциалы узлов.

G₁₁ -G₁₂ -G₁₃ I₁₁ 0,132 692 — 0,107 692 -3.

— G₂₁ G₂₂ -G₂₃ I₂₂ = - 0,107 692 0,1 410 256 1,6 666 667.

• 1 = -34,234 В
• 2 = -14,324 В

U_xx = ₃ — ₁¹ ;

₁¹= ₂ — I₃ R₃;

I₃ = (₂ — ₁)/(R₃ + R₄).

U_xx = ((₂ — ₁)/ (R₃ + R₄)) R₃ — ₂ = 28.1078 В Определяем эквивалентное сопротивление.

I₄ I₅

R₄ R₅

I₃ R₆

R₃

I₆

R_э R₂

I₂

Преобразуем треугольник в звезду:

R34 = (R3 R4)/(R3 +R4 +R5)= 25,714 Ом.

R₃₅ = (R₃ R₅)/(R₃ +R₄ +R₅)= 6.42 857 Ом.

R₄₅ = (R₄ R₅)/(R₃ +R₄ +R₅)= 2.857 Ом Рассчитываем R_э:

R_э= R₃₄ +((R₄₅ +R₆) (R₃₅ +R₂))/(R₂ +R₆ +R₃₅ + R₄₅) = 45,405 Ом Вычисляем ток I₁:

I₁ = U_хх/(R_Э + R₁) = 0,224А.

U.