Характерные скорости движения молекул

Чтобы найти среднее значение какой-либо физической величины, необходимо умножить её на функцию распределения молекул по скоростям и проинтегрировать по всем возможным скоростям молекул.

Средняя арифметическая скорость

Подставим выражение для функции распределения (2.25) и вынесем постоянные величины из-под знака интеграла:

Внесем одну скорость под знак дифференциала:

г" •• " У 2 2кТ , 2ч «2кТ

Введем переменную х = —7—, тогда v=x-, а (у) = ах—.

2 кТ т₀ т₀

Сделаем в интеграле (2.30) замену переменных v х:

Получившийся интеграл равен 1 (см. приложение). Следовательно, средняя арифметическая скорость.

Помножив числитель и знаменатель подкоренного выражения (2.32) на число Авогадро (N_A = 6,02* 10²³ моль¹), получим среднюю арифметическую скорость, выраженную через молярную массу р и универсальную газовую постоянную = 8,31 ДжДмоль К):

Оценим (v) для молекул азота (р = 0,028 кг/моль) при комнатной температуре (Г= 300 К):

Молекулы водорода имеют массу в 14 раз меньшую, поэтому их средняя скорость примерно в четыре раза больше, т. е.

Следовательно, молекулам водорода легче покинуть земную атмосферу, чем молекулам азота или кислорода.

Средняя квадратичная скорость. Используя функцию распределения Максвелла, найдём среднее значение квадрата скорости. Для этого умножаем квадрат скорости на функцию распределения и интегрируем по всем возможным значениям скорости:

Подставим выражение для функции распределения и вынесем константы из-под знака интеграла:

где р = -—Q-.

^Н 2 кТ

Значение интеграла такого вида известно (см. приложение):

Подставляя значение интеграла в (2.35), имеем для квадрата средней квадратичной скорости.

Извлекаем квадратный корень из полученного выражения и получаем среднюю квадратичную скорость:

Наиболее вероятная скорость соответствует максимальному значению функции распределения. Положение максимума функции найдём, приравняв производную функции распределения по скорости нулю:

или.

Константы не влияют на нули производной, находим производную от произведения.

Сокращая это выражение на экспоненту и на удвоенную скорость, приходим к уравнению.

откуда наиболее вероятная скорость.

Интересно отметить, что скоростями, отличающимися от на 50% и менее, обладают 70% всех молекул, а скоростями, более чем в три раза большими v^, обладает 0,04% всех молекул. Однако именно молекулы, обладающие скоростями v >> v^, обеспечивают протекание химических реакций.

Наиболее вероятная скорость молекул соответствует максимуму функции распределения (рис. 2.9), средняя арифметическая скорость больше наиболее вероятной, а средняя квадратичная больше средней арифметической:

так как

Рис. 2.9. Характерные скорости молекул.

Формула распределения Максвелла по модулю скорости, отнесенной к наиболее вероятной скорости. Наиболее простой вид функция распределения Максвелла принимает, если от переменной скорости перейти к переменной и, равной отношению скорости к наиболее вероятной скорости:

Замена переменных осуществляется, исходя из условия.

Выразим скорость и дифференциал скорости через новую переменную и:

Произведём замену переменных согласно (2.43):

Функция распределения Максвелла по скорости, отнесённой к наиболее вероятной скорости, не зависит от температуры и от вида газа:

С помощью функции распределения/(w) можно найти число молекул, скорости которых заключены в интервале от и_] до и₂:

В случае малого интервала скоростей.

Распределение Максвелла по энергиям

Аналогичным образом можно перейти к распределению Максвелла по импульсам или по энергиям, которое используется для нахождения числа молекул, обладающих импульсами или энергиями в заданном интервале.

Для нахождения функции распределения Максвелла по энергиям необходимо осуществить замену переменной скорости на переменную энергию, исходя из условия.

г ^т0^у2

где Е = —^—кинетическая энергия молекулы.

Осуществив указанную замену переменных, нетрудно найти функцию распределения по энергиям:

Функция распределения по кинетическим энергиям определяет вероятность того, что молекула имеет кинетическую энергию, заключённую в единичном интервале энергий вблизи значения Е. С помощью функции (2.48) можно найти среднее значение кинети;

ческой энергии молекулы и убедиться, что (Е) = -кТ.

Рис. 2.10. Опыт Штерна.

Экспериментальное подтверждение закона Максвелла дают опыты О. Штерна. Вдоль оси двух коаксиальных цилиндров располагается нить, которая нагревается (рис. 2.10). При нагреве с поверхности нити излучаются частицы, летящие к внутреннему цилиндру. Пролетая через щель в нём, они достигают поверхности второго цилиндра. Если вращать второй (внешний) цилиндр, то частицы будут сталкиваться с ним и оставлять след в разных местах в зависимости от скорости. Измеряя интенсивность следа в зависимости от стартового положения, получим распределение, близкое к распределению Максвелла.