Задачи на разрезание

С этими задачами, очевидно, столкнулся ещё первобытный человек, когда пытался раскроить шкуру убитого зверя, чтобы сшить себе одежду. Известно, что решения многих простых задач на разрезание были найдены ещё древними греками. Первый письменный источник с подобными задачами относится к Х веку — это фрагменты трактата персидского астронома Абул-Вефа, жившего в Багдаде. Профессиональные математики всерьёз занялись задачами на разрезание ближе к середине XIX века.

Я попробовал провести классификацию таких задач. Все их сюжеты можно условно поделить на следующие виды и подвиды:

• * Дробление — требуется разрезать данную фигуру:
• · на заданное число равных между собой, или, как говорят математики, — конгруэнтных частей (фигур);
• · на заданное число конгруэнтных и подобных ей фигур (такие фигуры получили название «делящихся»);
• · определённым количеством прямых на максимально возможное число частей, не обязательно равных.

Возможны и другие вариации условий разрезания, так как фантазия человека не имеет ограничений.

• * Квадрирование — разрезание фигуры на возможно меньшее число частей, из которых затем можно сложить квадрат.
• * Трансформирование — требуется разрезать одну фигуру так, чтобы их её частей можно было сложить вторую заданную фигуру (не квадрат).

В отдельный подвид можно выделить очень популярные задачи на разрезание шахматной доски, которые отличаются от остальных задач на разрезание тем, что на доске есть раскраска квадратов, и это накладывает дополнительные требования при поиске решения.

Учитывая большое общее количество задач на разрезание, я в этой работе рассмотрел только задачи на клетчатой бумаге на дробление, поскольку они ближе к теме моей работы.

Следует учесть, что термин «разрезание» не всегда надо понимать буквально: при решении приведённых далее задач достаточно на чертеже данной фигуры обозначить линии разреза карандашом. Но смысл разрезания предполагает ещё и выход из плоскости и переворачивание фигуры любой её стороной из двух существующих.

В качестве примеров рассмотрим несколько типичных задач на разрезание, которые встречаются во многих сборниках занимательных задач и одну менее известную задачу на делящиеся фигуры, которая представляет собой небольшое исследование.

Пример 1. Можно ли разрезать квадрат 66 на полоски 14 ?

Рис 1 Рис 2

Решение. Используем раскраску, показанную на рис. 1. Любая полоска 14, положенная на такую доску, покроет ровно одну чёрную клетку. Следовательно, если бы мы разрезали квадрат на полоски, то чёрных клеток оказалось бы столько же, сколько полосок. Но число полосок должно быть равно (6 · 6): 4 = 9, а чёрных клеток на этом рисунке 8! Значит разрезание невозможно.

Вместо раскраски в два цвета можно было использовать раскраску в четыре цвета, изображённую на рисунке 2 (каждый цвет помечен своим номером: цвет 1, цвет 2, цвет 3 и цвет 4).

Тогда каждая полоска 14 будет содержать ровно по одной клетке каждого цвета. Значит, если бы удалось разрезать квадрат на полоски, то клеток всех цветов было бы поровну. Но клеток цветов 1 и 3 — по 9, цвета 2 — 10, а цвета 4 — 8 штук.

Пример 2. Найти все целые положительные числа n таким образом, чтобы каждый треугольник можно было разрезать на n треугольников, подобных между собой.

Решение. Начертим разносторонний треугольник. Прежде всего покажем, как любой треугольник можно разрезать на n = kІ равных (следовательно, подобных) треугольников, т. е. на число n, равное квадрату целого числа. Разделим каждую сторону треугольника на k равных частей и через точки деления проведём прямые, параллельные его сторонам. Тогда число малых треугольников равно 1+ 3 + 5 + … + (2k — 1) = kІ.

Теперь покажем, что каждый треугольник разрезается на любое число n? 4 подобных между собой треугольников.

В самом деле, оставим на рис. 6 малые треугольники только в нижней полосе (трапеции), а все остальные объединим в один (рис. 7).

Столь же легко показать, что число таких частей может быть сделано любым нечётным n? 7: верхний из четырёх треугольников разбит на 2k (k? 2) частей, и ещё имеется три нижних, так что общее число частей равно n = 2k + 3, где k? 2 (рис. 8).

Итак, любой треугольник можно разрезать на любое число n подобных между собой треугольников, за исключением n = 2, 3, 5. Можно доказать, что для этих значений n требуемое разрезание невозможно.