Расчет железобетонной арки с учетом ползучести бетона

Аннотация: В работе получены основные уравнения для железобетонного элемента, испытывающего действие изгибающего момента и продольной силы, с учетом ползучести бетона. На основе данных уравнений исследуется напряженно-деформированное состояние железобетонной статически определимой трехшарнирной арки. При расчетах используется вязкоупругая модель. Рассматривается прямоугольное поперечное сечение с симметричным армированием. Показано, что в результате ползучести происходит перераспределение напряжений между арматурой и бетоном.

Ключевые слова: метод конечных элементов, ползучесть бетона, вязкоупругость, железобетонная арка, напряженно-деформированное состояние.

Железобетонные арки находят широкое применение в качестве стропильных конструкций, перемычек, в конструкциях мостов, покрытий промышленных зданий. Отличительной особенностью данных конструкций является то, что при правильно выбранном очертании возникающие в них изгибающие моменты малы, что отвечает специфике бетона — материала, плохо работающего на растяжение. Расчёт железобетонных арок, как правило, ведётся исключительно в упругой постановке. Однако для бетона характерна явно выраженная и развивающаяся даже в обычных эксплуатационных условиях ползучесть, которой ни в коем случае нельзя пренебрегать. В настоящей статье рассматривается методика расчета железобетонных арок с учетом ползучести бетона.

Так как арки являются брусьями малой кривизны, то их расчёт можно вести по формулам для внецентренно сжатых железобетонных стержней. Рассмотрим железобетонный элемент, испытывающий действие изгибающего момента и продольной силы. Расчётная схема, а также поперечное сечение показаны на рис. 1. Положительными будем считать растягивающие напряжения.

железобетонный арка расчет Полная деформация бетона в соответствии с гипотезой плоских сечений представляет собой сумму осевой деформации и деформации, обусловленной изменением кривизны:

(1).

где — кривизна стержня.

Из условия совместности работы арматуры и бетона запишем выражения для деформаций арматуры:

. (2).

Расстояния и подставляются в формулу (2) по абсолютному значению.

Согласно модели вязкоупругого тела, полная деформация бетона — это сумма упругой деформации и деформации ползучести [1]:

. (3).

Из (3) напряжения в бетоне запишутся в виде:

. (4).

Напряжения в арматуре определяются следующим образом:

. (5).

Запишем уравнение суммы моментов относительно оси z:

(6).

Составив сумму проекций всех сил на продольную ось стержня, получим:

(7).

Подставив (4) и (5) в (6), для случая симметричного армирования (,) получим:

(8).

где — приведённая изгибная жёсткость поперечного сечения;; .

Величина находится из уравнений (4), (5), (7):

(9).

где — приведённая жёсткость поперечного сечения при осевом растяжении (сжатии).

Уравнения (4), (5), (8), (9) могут использоваться для расчёта с учётом ползучести статически определимых арок. На первом этапе выполняется статический расчёт — определяются внутренние силовые факторы M и N. В статически определимых системах при постоянных внешних нагрузках они не зависят от времени. Поперечное сечение по высоте разбивается на m частей, а интервал времени на n шагов. Для заданных сечений в каждой точке вычисляются напряжения в бетоне без учёта ползучести. Если закон ползучести задан в дифференциальной форме, то по вычисленным напряжениям можно определить скорости роста деформаций ползучести, а также деформации ползучести в момент времени при помощи линейной аппроксимации [1, 3−6, 8−10]:

.

Был выполнен расчёт трёхшарнирной круговой арки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q. Расчётная схема представлена на рис. 2.

Рис. 2. — Расчётная схема арки

Уравнение оси арки, очерченной по окружности:

;; ;

. (10).

Внутренние усилия в сечении K арки вычисляются по формулам:

;, (11).

где , — момент и поперечная сила в сечении К в балке с аналогичным пролетом и нагрузкой.

В нашем случае.

;; .

Задача была решена при следующих исходных данных: q = 15 кН/м, L = 16 м, f = 3.2 м, b = 20 см, h = 40 см, 0 = 28 сут, Eb (0) = 3104 МПа коэффициент армирования.

15 см, ES = 2105 МПа.

Учитывалось старение бетона, т. е. возрастание его модуля упругости с течением времени. Зависимость модуля упругости бетона от времени принималась в виде:

,.

При расчёте использовалось уравнение вязкоупругой модели наследственного старения бетона, которое имеет вид [7]:

;

Для расчёта данное уравнение было представлено в дифференциальной форме.

Значения реологических констант: = 0.032, C = 3.7710−5 МПа-1, B = 5.6810−5 МПа-1, = 0.062.

На рис. 3 представлен график изменения напряжений в арматуре в зависимости от x и t. Верхней сетчатой поверхности соответствуют напряжения 'S в арматуре у верхней грани; нижней закрашенной — напряжения S в арматуре у нижней грани. Рис. 4 — изменение напряжений в бетоне в зависимости от x и t. Верхней поверхности соответствуют напряжения при y = h / 2, нижней — при y = - h / 2. Из рис. 3−4 видно, что вследствие ползучести бетона напряжения в арматуре по абсолютной величине возрастают, а в бетоне убывают. Наиболее существенное перераспределение происходит в точках, где изгибающие моменты максимальны (x 2.1 м и x 13.9 м).

Представленная задача была также решена методом конечных элементов. Система линейных алгебраических уравнений МКЭ с учётом ползучести имеет вид [2]:

.

где {U} — вектор узловых перемещений; [K] — матрица жёсткости; {Fq} — вектор внешних узловых нагрузок; {F*} — вклад деформаций ползучести в вектор нагрузки.

Рис. 3. Изменение напряжений в арматуре

Рис. 4. Изменение напряжений в бетоне при y = h / 2 и y = - h / 2

В таблице № 1 представлено сравнение напряжений в бетоне и арматуре у нижней грани при x = 2.1 м в различные моменты времени, полученных численно-аналитически методом (далее — ЧАМ), а также численно с использованием МКЭ.

Из таблицы видно, что результаты практически совпадают, что свидетельствует о достоверности разработанной методики.

Таблица № 1.

Сравнение результатов численно-аналитического расчета с МКЭ.

t, сут.
	ЧАМ.	— 15.84.	— 14.70.	— 14.16.	— 13.87.	— 13.72.	— 13.64.	— 13.59.	— 13.56.
	МКЭ.	— 15.81.	— 14.67.	— 14.17.	— 13.87.	— 13.71.	— 13.62.	— 13.57.	— 13.54.
	ЧАМ.	— 102.8.	— 137.7.	— 154.6.	— 162.7.	— 167.8.	— 170.4.	— 172.1.	— 173.2.
	МКЭ.	— 102.6.	— 137.4.	— 154.3.	— 163.1.	— 168.9.	— 170.3.	— 171.9.	— 172.8.

• 1. Козельская М. Ю., Чепурненко А. С., Литвинов С. В. Применение метода Галёркина при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Инженерный вестник Дона, 2013, № 2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1714.
• 2. Козельская М. Ю., Чепурненко А. С., Языев С. Б. Расчет на устойчивость сжатых полимерных стержней с учетом физической нелинейности методом конечных элементов // Науковедение: электронный журнал. № 3. 2013 URL: naukovedenie.ru/PDF/62trgsu313.pdf.
• 3. Кулинич И. И., Клименко Е. С., Языев С. Б., Литвинов С. В. Продольный изгиб полимерного стержня с учетом начальных несовершенств // «Строительство-2011»: материалы Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2011. С. 159−161.
• 4. Литвинов С. В., Клименко Е. С., Кулинич И. И., Языева С. Б. Расчет на устойчивость полимерных стержней с учетом деформаций ползучести и начальных несовершенств // Инженерный Вестник Дона. № 2. 2011. URL: ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/418.
• 5. Литвинов С. В., Клименко Е. С., Кулинич И. И. и др. Расчет на устойчивость стержней из ЭДТ-10 при различных вариантах закрепления // Инженерный Вестник Дона. № 2. 2011. URL: ivdon.ru/magazine/latest/n2y2011/415.
• 6. Литвинов С. В., Клименко Е. С., Кулинич И. И., Языева С. Б. Устойчивость полимерных стержней при различных вариантах закрепления // Вестник МГСУ. № 2. т.2. 2011. С.153−157.
• 7. Тамразян А. Г. Механика ползучести бетона: монография / А. Г. Тамразян, С. Г. Есаян. Москва: МГСУ, 2012. 490 с.
• 8. Чепурненко А. С., Андреев В. И., Языев Б. М. Энергетический метод при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Вестник МГСУ. № 1. 2013, с. 101−108.
• 9. Vladimir I. Andreev, Anton S. Chepurnenko, Batyr M. Yazyev. Energy Method in the Calculation Stability of Compressed Polymer Rods Considering Creep // Advanced Materials Research Vols. 1004−1005 (2014) pp. 257−260. Trans Tech Publications, Switzerland.
• 10. Vladimir I. Andreev, Batyr M. Yazyev, Anton S. Chepurnenko. On the Bending of a Thin Plate at Nonlinear Creep//Advanced Materials Research Vol. 900 (2014) pp. 707−710. Trans Tech Publications, Switzerland.