Электротехника и электроника

Задача 1. Для эл. цепи, схема которой изображена на рис. 1.1 — 1.50, по заданным в табл. 1 сопротивлениям и эдс выполнить следующее:

Составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа;

Найти все токи, пользуясь методом контурных токов;

Проверить правильность решения, применив метод узлового напряжения. Предварительно упростить схему, заменив треугольник сопротивлений R₄, R₅, R₆ эквивалентной звездой. Начертить расчетную схему с эквивалентной звездой и показать на ней токи;

Определить показание вольтметра и составить баланс мощностей для заданной схемы;

Построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3

Рис. 1.4 Рис. 1.5 Рис. 1.6

Рис. 1.7 Рис. 1.8 Рис. 1.9

Рис. 1.10 Рис. 1.11 Рис. 1.12

Рис. 1.13 Рис. 1.14 Рис. 1.15

Рис. 1.16 Рис. 1.17 Рис. 1.18

Рис. 1.19 Рис. 1.20 Рис. 1.21

Рис. 1.22 Рис. 1.23 Рис. 1.24

Рис. 1.25 Рис. 1.26 Рис. 1.27

Рис. 1.28 Рис. 1.29 Рис. 1.30

Рис. 1.31 Рис. 1.32 Рис. 1.33

Рис. 1.34 Рис. 1.35 Рис. 1.36

Рис. 1.37 Рис. 1.38 Рис. 1.39

Рис. 1.40 Рис. 1.41 Рис. 1.42

Рис. 1.43 Рис. 1.44 Рис. 1.45

Рис. 1.46 Рис. 1.47 Рис. 1.48

Рис. 1.49 Рис. 1.50

Таблица 1.

Методические рекомендации по расчету линейных электрических цепей постоянного тока

Метод преобразования схемы

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 1. Пусть известны величины сопротивлений резисторов r₁, r₂, r₃, r₄, r₅, r₆, э. д. с. Е и ее внутреннее сопротивление r₀. Требуется определить токи во всех участках цепи и напряжение, которое покажет вольтметр (сопротивление его бесконечно велико), включенный между точками схемы а и d.

Такие задачи решаются методом свертывания схемы, по которому отдельные участки схемы упрощают и постепенным преобразованием приводят схему к одному эквивалентному (входному) сопротивлению относительно зажимов источника питания. Схема упрощается с помощью замены группы последовательно или параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным сопротивлением. Так, сопротивления r₄ и r₅ соединены последовательно и их эквивалентное сопротивление.

Сопротивления r₄₅ и r₆ соединены параллельно и, следовательно, их эквивалентное сопротивление.

Рис. 1 Рис. 2

После произведенных преобразований цепь принимает вид, показанный на рис. 2, а эквивалентное сопротивление всей цепи найдем из уравнения.

.

Ток I₁ в неразветвленной части схемы определим по закону Ома:

I₁ = E/r_экв.

Воспользовавшись схемой на рис. 2, найдем токи I₂ и I₃:

Переходя к рис. 1, определим токи I₄, I₅ и I₆ по аналогичным уравнениям:

Зная ток I₁ можно найти ток I₂ другим способом. Согласно второму закону Кирхгофа, U_аb = Е — (r₀ + r₁) I₁, тогда.

I₂ = U_аb/r₂.

Показание вольтметра можно определить, составив уравнение по второму закону Кирхгофа, например, для контура acda:

r₃ I₃ + r₄ I₄ = U_аd.

Для проверки решения можно воспользоваться первым законом Кирхгофа и уравнением баланса мощностей, которые для схемы, изображенной на рис. 1, примут вид.

I₁ = I₂ + I₃; I₃ = I₄ + I₆;

E*I₁ = (r₀ + r₁)I₁² + r₂I₂² + r₃I₃² + (r₄ + r₅)I₄² + r₆I₆².

Законы Кирхгофа

Важным вопросом этого раздела является расчет распределения токов в сложных линейных цепях с несколькими источниками. Классическим методом расчета таких цепей является непосредственное применение законов Кирхгофа. Все остальные методы расчета исходят из этих фундаментальных законов электротехники.

Рассмотрим сложную электрическую цепь (рис. 3), которая содержит 6 ветвей. Если будут заданы величины всех э. д. с. и сопротивлений, а по условию задачи требуется определить токи в ветвях, мы будем иметь задачу с шестью неизвестными. Такие задачи решаются при помощи законов Кирхгофа. В этом случае должно быть составлено столько уравнений, сколько неизвестных токов.

Порядок расчета:

Если цепь содержит последовательные и параллельные соединения, ее упрощают, заменяя эти соединения эквивалентными.

Произвольно указывают направления токов во всех ветвях. Если принятое направление тока не совпадает с действительным, то при расчете такие токи получаются со знаком «минус».

Составляют (п — 1) уравнений по первому закону Кирхгофа (п — число узлов).

Недостающие уравнения составляют по второму закону Кирхгофа, при этом обход контура можно производить как по часовой стрелке, так и против нее. За положительные э. д. с. и токи принимаются такие, направление которых совпадает с направлением обхода контура. Направление действия э. д. с. внутри источника всегда принимают от минуса к плюсу.

Рис. 3 Рис. 4

Полученную систему уравнений решают относительно неизвестных токов. Составим расчетные уравнения для электрической цепи, изображенной на рис. 3. Выбрав произвольно направление токов в ветвях цепи, составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов а, b и с:

(1).

Приняв направление оборота контуров по часовой стрелке, составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для трех произвольно выбранных контуров:

для контура adkb:

(2).

для контура bacldkb:

(3).

для контура bmncab:

(4).

Решая совместно уравнения (1), (2), (3) и (4), определяем токи в ветвях электрической цепи.

Легко заметить, что решение полученной системы из шести уравнений является весьма трудоемкой операцией.

Метод контурных токов

При расчете сложных электрических цепей целесообразно применить метод контурных токов (метод ячеек), который позволяет уменьшить число уравнений, составляемых по двум законам Кирхгофа, на число уравнений записанных по первому закону Кирхгофа. Следовательно, число уравнений, составляемых по методу контурных токов, равно т — n + 1. При решении методом контурных токов количество уравнений определяется числом ячеек. Ячейкой будем называть такой контур, внутри которого отсутствуют ветви. В нашем случае таких контуров-ячеек три: bаdkb, асlda и mncabm.

Расчет сложных электрических цепей методом контурных токов ведется следующим образом:

Вводя понятие «контурный ток», произвольно задаемся направлением этих токов в ячейках. Удобнее все токи указать в одном направлении, например по часовой стрелке (рис. 4) .

Составляем для каждого контура-ячейки уравнение по второму закону Кирхгофа. Обход контуров производим по часовой стрелке:

первый контур:

(5).

второй контур:

(6).

третий контур:

(7).

Решая совместно уравнения (5), (6), (7), определяем контурные токи. В том случае, когда контурный ток получается со знаком «минус», это означает, что его направление противоположно выбранному на схеме.

Токи во внутренних ветвях схемы определяются как сумма или разность соответствующих контурных токов. В том случае, когда контурные токи в ветви совпадают, берут сумму, а когда направлены навстречу? токи вычитают.

Токи во внешних ветвях схемы равны по величине соответствующим контурным токам.

Пример. Рассчитать сложную цепь постоянного тока для схемы, изображенной на рис. 4. Задано: Е₁ = 100 В, Е₂ = 120 В, r₀₁ = r₀₂ = 0,5 Ом, r₁ = 5 Ом, r₂ = 10 Ом, r₃ = 2 Ом, r₄ = 10 Ом. Определить токи в ветвях цепи.

Решение. Используя уравнения (5), (6) и (7), получаем:

Выразив I_k3 через I_k1 и I_k2:

и произведя соответствующие подстановки, получаем:

Совместное решение полученных уравнений дает:

Определяем токи в ветвях:

Метод двух узлов.

На практике часто используются цепи, в которых параллельно включены несколько источников энергии и приемных устройств. Такие цепи удобно анализировать с помощью метода узлового напряжения (напряжения между двумя узлами).

Рис. 5.

Пример. Найти токи цепи (рис. 5) и показание вольтметра, если r₁ = r₂ = r₃ = r₄ = 10 Ом. Е₁ = 10 В, Е₂ = 18 В, Е₃ = 10 В.

Решение. Найдем узловое напряжение U_ab (показание вольтметра):

При этом учитываем, что с плюсом записываются эдс, направленные к узлу «а», с минусом — эдс, направленные от узла «а».

Токи в ветвях определяются по закону Ома:

Знаки «плюс» или «минус» выбираются в соответствии с законом Ома для ветви с источником. Если направление э. д. с. и напряжения совпадают с направлением тока, то берется знак «плюс», в противном случае — знак «минус».

Задача 2. Для электрической цепи, схема которой изображена на рис. 2.1 — 2.50, по заданным в табл. 2 параметрам и ЭДС источника определить токи во всех ветвях цепи и напряжения на отдельных участках. Составить баланс активной и реактивной мощности. Построить в масштабе на комплексной плоскости векторную диаграмму токов и потенциальную диаграмму напряжений по внешнему контуру. Определить показание вольтметра и активную мощность, измеряемую ваттметром.

Рис. 2.1 Рис. 2.2 Рис. 2.3

Рис. 2.4 Рис. 2.5 Рис. 2.6

Рис. 2.7 Рис. 2.8 Рис. 2.9

Рис. 2.10 Рис. 2.11 Рис. 2.12

Рис. 2.13 Рис. 2.14 Рис. 2.15

Рис. 2.16 Рис. 2.17 Рис. 2.18

Рис. 2.19 Рис. 2.20 Рис. 2.21

Рис. 2.22 Рис. 2.23 Рис. 2.24

Рис. 2.25 Рис. 2.26 Рис. 2.27

Рис. 2.28 Рис. 2.29 Рис. 2.30

Рис. 2.31 Рис. 2.32 Рис. 2.33

Рис. 2.34 Рис. 2.35 Рис. 2.36

Рис. 2.37 Рис. 2.38 Рис. 2.39

Рис. 2.40 Рис. 2.41 Рис. 2.42

Рис. 2.43 Рис. 2.44 Рис. 2.45

Рис. 2.46 Рис. 2.47 Рис. 2.48

Рис. 2.49 Рис. 2.50

Таблица 2

Методические рекомендации по расчету цепей синусоидального тока

Пример. Рассчитать электрическую цепь синусоидального тока со смешанным соединением приемников.

Для схемы, изображенной на рис. 6, известно, что.

U = 120 B, r₁ = 10 Ом, r₂ = 24 Ом, r₃ = 15 Ом,.

L₁ = 19,1 мГ, L₃ = 63,5 мГ, С₂ = 455 мкФ, f = 50 Гц.

Рис. 6.

Определить токи в ветвях цепи, напряжения на участках цепи, активную, реактивную и полную мощности и построить векторную диаграмму.

Решение. Выражаем сопротивления ветвей цепи в комплексной форме:

Z = r ± jx = ze^+jц;

Z₁ = r₁+jщL₁ = 10+j2р*50*19,1*10^-3 = 10+j6 Ом.

Переходя от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной, получаем: Z₁ = z₁e ^jц1 = 11,6e ^j31? Ом,.

где Ом = 25e^{-j16? 15?} Ом;

Z₃ = r₃+jщL₃ = 15+j2р*50*63,5*10^-3 = 15+j20 Ом =25e ^{j53? 05?} Ом.

Рис. 7.

Выражаем заданное напряжение U в комплексной форме. Если начальная фаза напряжения не задана, то её можно принять равной нулю и располагать вектор напряжения совпадающим с положительным и направлением действительной оси. В этом случае мнимая составляющая комплексного числа будет отсутствовать (рис. 7):

= U = 220 В.

Полное комплексное сопротивление цепи.

Ом.

Определяем ток в неразветвленной части цепи:

A.

Токи и в параллельных ветвях могут быть выражены через ток в неразветвленной части цепи:

= A;

=A.

Токи и можно найти и по-другому:

Найдем мощности всей цепи и отдельных её ветвей:

Для определения активной и реактивной мощностей полную мощность, выраженную комплексным числом в показательной форме, переводим в алгебраическую форму. Тогда действительная часть комплекса будет представлять собой активную мощность, а мнимая — реактивную:

откуда Р = 494 Вт; Q = 218 вар.

Активную и реактивную мощности можно найти и по-другому:

Р = Re Вт;

Вт; Вт;

Вт.

Проверка показывает, что Р = Р₁ + Р₂ + Р₃.

= 120 * 4,5 sin 23?55? = 218 вар;

вар; вар;

вар.

Учитывая, что Q₁ и Q₃ положительны (реактивная мощность индуктивных катушек), а Q₂ отрицательно (реактивная мощность конденсатора), получим.

Q = Q₁ — Q₂ + Q₃ = 218 вар.

На рис. 8 приведена векторная диаграмма токов и напряжений, построенная по расчетным данным. Порядок её построения следующий: по результатам расчетов отложены векторы токов и, затем по направлению отложен вектор и перпендикулярно к нему в сторону опережения — вектор. Их сумма дает вектор Z₁. Далее в фазе с построен вектор и перпендикулярно к нему в сторону отставания вектор, а их сумма дает вектор напряжения на параллельном участке U_bc. Тот же вектор может быть получен, если в фазе с отложить и к нему прибавить вектор, опережающий на 90⁰. Cумма векторов Z₁ и U_bc дает вектор приложенного напряжения U.

Рис. 8.

Задача 3. Для электрической цепи, схема которой изображена на рис. 3.1 — 3.17, по заданным в табл. 3 параметрам и линейному напряжению, определить фазные и линейные токи, ток в нейтральном проводе (для четырехпроводной схемы), активную мощность всей цепи и каждой схемы отдельно. Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Таблица 3

Рис. 3.1 Рис. 3.2 Рис. 3.3

Рис. 3.4 Рис. 3.5 Рис. 3.6

Рис. 3.7 Рис. 3.8 Рис. 3.9

Рис. 3.10 Рис. 3.11 Рис. 3.12

Рис. 3.13 Рис. 3.14 Рис. 3.15

Рис. 3.16 Рис. 3.17

Методические рекомендации по расчету трехфазных цепей

Пример1. В трехфазную сеть с линейным напряжением U_л = 220 В включен приемник, соединенный треугольником, сопротивление каждой фазы которого Z = (10+j10) Ом (рис. 9). Найти токи в каждой фазе нагрузки и линии и показания каждого ваттметра. Построить векторную диаграмму. Найти те же величины в случае обрыва цепи в точке d.

Решение. Расчет токов в трехфазных цепях производится комплексным методом. Примем, что вектор линейного напряжения U_АВ направлен по действительной оси, тогда.

U_AB = U_ab = 220 B; U_BC = U_bc = 220e^-j120? B;

U_CA = U_ca =220e^j120? B.

Рис. 9.

Определяем фазные токи:

A;

A;

A.

Находим линейные токи:

A;

A;

A.

Определим показания ваттметров:

Р₁ = Re Вт;

Р₂ = Re

Вт.

Активная мощность цепи (алгебраическая сумма показаний ваттметров) Р равна: ток электрический цепь.

Р = Р₁ + Р₂ = 1530 + 5730 = 7260 Вт, или.

Вт.

Рис. 10.

Пример2. В четырехпроводную трехфазную сеть с линейным напряжением U_л = 220 В включен звездой приемник, активные и индуктивные сопротивления фаз которого соответственно равны: r_а = 3 Ом, х_а = 4 Ом, r_b = 3 Ом, x_b = 5,2 Ом, r_с = 4 Ом, х_с = 3 Ом (рис. 11). Определить токи в линейных и нейтральном проводах и построить векторную диаграмму.

Решение. Считаем, что вектор фазного напряжения U_a направлен по действительной оси, тогда.

В, U_b = 127e^-j120? B, U_C = 127e^j120? B.

Рис. 11 Рис.12

Находим линейные токи:

A;

A;

A.

Ток в нейтральном проводе определяется как геометрическая сумма линейных токов:

A.

Векторная диаграмма показана на рис. 12.

При несимметричной нагрузке для определения активной мощности находят мощность каждой фазы отдельно:

P_Ф = U_ФI_Ф cos ц,.

а мощность всей трехфазной системы получают как сумму мощностей всех фаз или используют схему включения двух ваттметров.

Пример 3. В трехфазную сеть с линейным напряжением U_л = 380 В включен звездой приемник, активное, индуктивное и емкостное сопротивление фаз которого равны: r = х_L = x_c = 22 Ом (рис. 13).

Рис. 13 Рис. 14

Решение. Расчет токов производится комплек…