Стержневая система. 
Стержневая система

Задача 1. Стержневая система

стержень брус деформация Два стальных (1 и 2) стержня, шарнирно соединённых в точке A, находятся под действием силы P (рис. 1). Первый стержень имеет длину с и площадь поперечного сечения, второй — длину a и площадь 2 °F. Найти: величину нормальных напряжений, действующих в стержнях; абсолютную и относительную деформаций стержней.

Дано:

P=110 кН, (стержень 2) a=2,6 м, (стержень 1) c=2,1 м, F=11 .

Решение:

Стержни прикреплены к стене и соединены между собой шарнирами (в точках B, C и A). Шарниры предполагаются идеальными.

Нагрузка P приложена в узле A. Поэтому стержни будут испытывать только продольные усилия.

Полагая оба стержня растянутыми, направим усилия так, как показано на рис. 2.

Риc. 2.

Составим два независимых уравнения равновесия — в виде сумм проекции всех сил на две оси, не параллельные друг другу.

Вычислим значения. Для этого найдем угол из треугольника CAB (рис. 3).

Риc. 3.

Рассмотрим данную стержневую систему (рис. 3). Из точки, А опустим перпендикуляр АD на прямую ВС, получим два прямоугольных треугольника ДABD и ДАDC.

Из треугольника ABD определим.

AD=AB*sin60=2,1*.

Из треугольника ADС получим:

cosб=.

sinб=.

Теперь определим неизвестные усилия и из системы двух неизвестных линейных уравнений. Перепишем уравнения в следующем виде:

Решим систему, используя метод Крамера:

N₁=.

N₂=.

Проверка:

Напряжение в стержнях определяется по формуле:

где F — площадь поперечного сечения в .

Абсолютная деформация первого стержня:

Абсолютная деформация второго стержня:

Относительную деформацию определим из закона Гука:

Относительная деформация первого стержня:

:

Задача 2. Растяжение-сжатие Ступенчатый брус нагружен силами Р1, Р2, Р3 и, направленными вдоль его оси. Требуется: 1) построить эпюры продольных сил N, напряжений у и продольных перемещений Д; 2) проверить, выполняется ли условие прочности.

Дано:

=40 кН, =80 кН, =100 кН, a=0,4 м, b=0,5 м, с=0,4 м; F1=5 см²; F2=10см², Е=2• Мпа, ут=240Мпа, nт=1,5.

Решение:

1. Построение эпюры N.

На брус действуют три силы, следовательно, продольная сила по его длине будет изменяться. Разбиваем брус на участки, в пределах которых продольная сила будет постоянной. В данном случае границами участков являются сечения, в которых приложены силы. Обозначим сечения буквами А, В, С, D, начиная со свободного конца, в данном случае левого.

Для определения продольной силы на каждом участке рассматриваем произвольное поперечное сечение, сила в котором определяется по правилу, приведенному ранее. Чтобы не определять предварительно реакцию в заделке D, начинаем расчеты со свободного конца бруса А.

Участок АВ, сечение I-I. Слева от сечения действует растягивающая сила P1 (рис. 4, а). В соответствии с упомянутым ранее правилом, получаем.

.

Участок ВС, сечение II-II. Слева от него расположены две силы, направленные в разные стороны. С учетом правила знаков, получим.

Участок СD, сечение III-III: аналогично получаем.

=.

По найденным значениям N в выбранном масштабе строим эпюру, учитывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянна (рис. 4, б).

2. Построение эпюры напряжений у.

Вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка бруса:

При вычислении нормальных напряжений значения продольных сил N берутся по эпюре с учетом их знаков. Знак плюс соответствует растяжению, минус — сжатию. Эпюра напряжений показана на рис. 2.1, в.

3. Построение эпюры продольных перемещений.

Для построения эпюры перемещений вычисляем абсолютные удлинения отдельных участков бруса, используя закон Гука:

Определяем перемещения сечений, начиная с неподвижного закрепленного конца. Сечение D расположено в заделке, оно не может смещаться и его перемещение равно нулю: ?D=0.

Сечение С переместится в результате изменения длины участка CD. Перемещение сечения С определяется по формуле.

При отрицательной (сжимающей) силе точка С сместится влево.

Перемещение сечения В является результатом изменения длин DC и CB. Складывая их удлинения, получаем:

Рассуждая аналогично, вычисляем перемещение сечения А:

В выбранном масштабе откладываем от исходной оси значения вычисленных перемещений. Соединив полученные точки прямыми линиями, строим эпюру перемещений (рис. 4, г).

4. Проверка прочности бруса. Условие прочности записывается в следующем виде:

у_max?[у].

Максимальное напряжение уmax находим по эпюре напряжений, выбирая максимальное по абсолютной величине:

у_max=120 Мпа.

Это напряжение действует на участке ВC.

Допускаемое напряжение вычисляем по формуле:

Сравнивая у_max и [у], видим, что условие прочности выполняется, так как максимальное напряжение не превышает допускаемое.

Задача 3. Кручение К стальному брусу круглого поперечного сечения приложены четыре крутящих момента М1, М2, М3, Х, три из которых известны.

Требуется:

• 1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения равен нулю;
• 2) при найденном значении Х построить эпюру крутящих моментов;
• 3) при заданном значении допускаемого напряжения [ф], определить диаметр вала из условия его прочности и округлить величину диаметра до ближайшей большей стандартной величины, равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 80, 90, 100 мм;
• 4) проверить, выполняется ли условие жесткости бруса при выбранном диаметре ([и] =1 град/м);

5) построить эпюру углов закручивания. Для всех вариантов принять модуль сдвига для стали G = 8 МПа.

Дано:

Решение.

1. Определение величины неизвестного крутящего момента Х. Брус жестко заделан левым концом А, правый конец Е свободный. В сечениях В, С, и D приложены известные крутящие моменты. Для определения неизвестного момента Х используем условие равенства нулю угла поворота сечения Е.

Угол поворота сечения Е относительно сечения, А определяется как сумма углов закручивания отдельных участков:

Крутящие моменты, определяются по приведенному выше правилу. Вычисления начинаем с незакрепленного конца:

Сокращая на, приводим уравнение к виду:

Найденное значение Х = 0,43 кНм подставляем в выражения, вычисляя, таким образом, величину крутящего момента на каждом участке:

Используем условие прочности:

По условию задачи [и] = 1 град/м. Переводя значение угла из градусной меры в радианную, получаем:

Вычисляем выражение, стоящее в левой части условия жесткости, определив предварительно величину полярного момента инерции бруса:

Сравнение левой и правой частей условия жесткости показывает, что оно выполняется:

Угол поворота каждого сечения равен сумме углов закручивания соответствующих участков бруса. Суммирование углов начинаем с незакрепленного конца А:

т.к. сечение в заделке неподвижно;

;

;

.

По вычисленным углам поворота сечений построена эпюра углов закручивания (рис. 3.1, в).

Задача 4. Геометрические характеристики плоских фигур Для двух заданных сечений, состоящих из нескольких элементов или имеющих вырезы, определить положение главных центральных осей инерции и вычислить величины моментов инерции относительно этих осей.

Дано:

а) Первое сечение.

Решение:

1. Находим и выписываем геометрические характеристики прокатных профилей, составляющих заданное сечение.

Для швеллера:

=100мм.

Для уголков:

Заданное сечение имеет одну ось симметрии, которая является главной центральной осью. Выбираем исходную систему координат: ось абсцисс y совмещаем c нижней границей сечения, а ось ординат Z — с осью симметрии. Координаты точек и легко определяются по чертежу.

Учитывая симметрию сечения, вычисляем ординату его центра тяжести:

=(.

=(.

б) Второе сечение.

Решение:

1. Заданное сечение вычерчиваем в масштабе 1:2 и разбивается на простейшие фигуры: прямоугольник, и круг. Вычисляем площади и моменты инерции составляющих фигур относительно их центральных осей:

2. Определение положения центра тяжести составного сечения.

Центр тяжести составной фигуры лежит на ее оси симметрии Y. Вспомогательная ось совмещается с левой границей сечения. Определяем координату центра тяжести всего сечения:

Фигура симметричная.

3. Вычисление моментов инерции относительно главных центральных осей Y, Z.

• (
• (

По чертежу находим расстояния между осями.

Осисовпадают с главной центральной осью z всей фигуры, поэтому:

• (
• (

Задача 5. Изгиб Для заданных схем балок требуется: 1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов; подобрать поперечные сечения балок:

I. а) для стальной балки (рис. 8, а); б) для чугунной балки (рис. 8, б); в) для стальной балки (рис. 8, в); Форму сечения рис. 9, определить размеры сечения из условия прочности по допускаемым напряжениям.

II. Для стальной и чугунной балки построить эпюры распределения нормальных напряжений по высоте сечения.

Дано:

; .

а) для стальной балки (рис. 8, а) Решение первой части задачи:

Определение моментов:

Определение опорных реакций:

Проверим правильность вычислений:

Условие равновесия удовлетворяется, реакции определены правильно.

Построение эпюры Q.

Мысленно разбиваем балку на участки. Границами участков являются сечения, в которых к балке приложены сосредоточенные силы или пары сил, начинаются или заканчиваются распределенные нагрузки, имеются промежуточные шарниры.

Участок I-I.

Участок II-II.

Участок III-III.

(справа) Построение эпюры .

Участок I-I.

(x=0).

Участок II-II.

).

Участок III-III.

(справа).

По эпюре находим опасное сечение балки — сечение, в котором изгибающий момент максимален по абсолютной величине. Для заданной балки изгибающий момент в опасном сечении .

Для определения размеров поперечного сечения необходимо найти из условия прочности балки осевой момент сопротивления относительно его нейтральной оси. Заданное сечение (рис. 8) имеет ось симметрии, и для определения положения его центра тяжести достаточно вычислить только одну его координату — ординату .

Разобьем заданную фигуру на две простые части — два прямоугольника (1,2).Тогда ордината центра тяжести всей фигуры определится по формуле:

Вычисляем момент инерции заданного сечения относительно главной центральной оси Z:

(.

При расчете на прочность балок, изготовленных из хрупких материалов, для сечений с одной осью симметрии необходимо вычислять два момента сопротивления относительно оси Z:

Условие прочности для опасных точек в растянутой зоне сечения имеет вид:

Отсюда, Условие прочности балки по допускаемым напряжениям на сжатие:

Отсюда, В расчете по нормальным напряжениям из двух найденных значений принимаем большее (a = 1,4 см), что обеспечит прочность материала балки как в растянутой, так и в сжатой зонах.

2. Рассмотрим решения второй части задачи.

Построим эпюры распределения нормальных напряжений по высоте сечения для стальной балки. Для этого вычислим максимальные нормальные напряжения в сечении балки:

б) для чугунной балки Решение первой части задачи:

Определение моментов:

Проверим правильность вычислений:

Условие равновесия удовлетворяется, реакции определены правильно.

Построение эпюры Q.

Мысленно разбиваем балку на участки. Границами участков являются сечения, в которых к балке приложены сосредоточенные силы или пары сил, начинаются или заканчиваются распределенные нагрузки, имеются промежуточные шарниры.

Участок I-I.

Участок II-II.

Участок III-III.

Построение эпюры .

Участок I-I.

Участок II-II.

Участок III-III.

(справа) По эпюре находим опасное сечение балки — сечение, в котором изгибающий момент максимален по абсолютной величине. Для заданной балки изгибающий момент в опасном сечении .

Используя данные, полученные в пункте 4 части а) и условие прочности для опасных точек в растянутой зоне сечения, находим геометрические размеры сечения рис. 10.

Отсюда, Условие прочности балки по допускаемым напряжениям на сжатие:

Отсюда, В расчете по нормальным напряжениям из двух найденных значений принимаем большее (a = 0,64 см), что обеспечит прочность материала балки, как в растянутой, так и в сжатой зонах.

2. Рассмотрим решения второй части задачи.

Построим эпюры распределения нормальных напряжений по высоте сечения для стальной балки. Для этого вычислим максимальные нормальные напряжения в сечении балки:

в) для чугунной балки (рис. 9, в) Решение первой части задачи:

Определение моментов:

Проверим правильность вычислений:

Условие равновесия удовлетворяется, реакции определены правильно.

Построение эпюры Q.

Мысленно разбиваем балку на участки. Границами участков являются сечения, в которых к балке приложены сосредоточенные силы или пары сил, начинаются или заканчиваются распределенные нагрузки, имеются промежуточные шарниры.

Участок I-I.

Участок II-II.

Участок III-III.

Построение эпюры .

Участок I-I.

Участок II-II.

Участок III-III.

По эпюре находим опасное сечение балки — сечение, в котором изгибающий момент максимален по абсолютной величине. Для заданной балки изгибающий момент в опасном сечении .

Используя данные, полученные в пункте 4 части а) и условие прочности для опасных точек в растянутой зоне сечения, находим геометрические размеры сечения рис. 10.

Отсюда, Условие прочности балки по допускаемым напряжениям на сжатие:

Отсюда, В расчете по нормальным напряжениям из двух найденных значений принимаем большее (a = 1,8 см), что обеспечит прочность материала балки как в растянутой, так и в сжатой зонах.

2. Рассмотрим решения второй части задачи.

Построим эпюры распределения нормальных напряжений по высоте сечения для стальной балки. Для этого вычислим максимальные нормальные напряжения в сечении балки:

• 1. Механика: Сопротивление материалов. Учебно-методическое пособие для практических занятий. Автор: Ермилов В.В.
• 2. Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2009. — 560 с.
• 3. Алмаметов Ф. З., Арсеньев С. И., Курицын Н. А., Мишин А. М. Расчетные и курсовые работы по сопротивлению материалов. — М.: Высшая школа, 2003. — 367 с.
• 4. Биргер И. А., Мавлютов P.P. Сопротивление материалов.— М.: Наука, 1986. —560 с.
• 5. Бондаренко А. Н. Курс лекций по сопротивлению материалов — МИИТ, 2007.
• 6. Сопротивление материалов, Н. М. Беляев, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976 г., стр. 608.
• 7. Механика разрушения и прочность материалов. Справочное пособие в 4-х томах. — Киев.: Наукова думка, 1988. — 2000 с.