Моделирование сбоев и их устранение на финансовых рынках с потоком событий, порожденным бинарным деревом

Рассмотрим стохастический базис

где — конечное множество исходов на некотором финансовом рынке; — -алгебра событий на этом рынке, доступных для наблюдения до момента времени включительно; — вероятностная мера, нагружающая все атомы финальнойалгебры .

Определение. Под сбоем понимается такая ситуация на рынке акций, когда при временной эволюции рынка новые события возникают, однако дисконтированная цена акции (какого-то фиксированного типа) не изменяется.

Например, пусть — адаптированный случайный процесс, представляющий собой эволюцию дисконтированной цены акции определенного типа, и атомалгебры таков, что, где и есть атомыалгебры. Если выполняется равенство, то это и означает, что в момент времени на атоме произошел сбой.

В работах [1,2] было доказано, что отсутствие сбоя равносильно интерполяционному свойству финансового рынка, названному свойством хааровской единственности (СХЕ). Из этого результата вытекает, что при наличии хотя бы одного сбоя неполный и безарбитражный финансовый рынок не может быть преобразован посредством хааровской интерполяции в полный и безарбитражный рынок.

Настоящая статья посвящена моделированию сбоев на финансовых рынках с потоком событий, порожденным бинарным деревом (важность такой модели демонстрирует монография [3] и работы [4−6]). В ней описывается работа одного из модулей созданного авторами программного комплекса. Основная цель работы — показать, что переходом от исходной (физической) вероятностной меры к эквивалентной ей слабой деформации можно «исправить» рынок со сбоем таким образом, что он будет обладать единственной строго эквивалентной деформации мартингальной деформацией (терминология разъясняется в [7]). Сбои можно моделировать и на других рынках (см. [8−9]). Относительно применений см. также [10].

В программном комплексе реализовано автоматическое моделирование сбоев. Допущения: 1) количество сбоев в любой момент времени ограничено сверху числом (задается в зависимости от конкретной задачи); 2) могут существовать моменты времени, в которых (нет сбоев) 3) на атомах и, возникших после сбоя, плотность деформации задается равенствами и. Если мыслится как случайная величина с областью значений в интервале, то ее значение при каждом сбое моделируется заново. В частном случае, если, эта константа едина для всех сбоев.

Имитационное моделирование сбоев осуществляется в соответствии со следующим алгоритмом.

• 1. В рамках рассматриваемой модели сбой может произойти в каждый момент времени с заданной заранее фиксированной вероятностью .
• 2. Если в какой-то момент времени сбой происходит, то моделирование его величины производится на случайным образом выбранном атоме. Если при этом, то случайным образом отбираются еще атомов и каждый из этих атомов экзаменуется на наличие сбоя (вероятность наличия сбоя на каждом из этих атомов обозначается).
• 3. После сбоя цена акции опять ведет себя в соответствии с исходными параметрами ее эволюции.

Описанная выше процедура реализована в виде плагина, который в случае надобности подключается к основной программе. В следующем примере сбои моделируются в рамках классической CRR-модели (модели Кокса-Росса-Рубинштейна).

Пример. Создадим CRR-модель с параметрами, приведенными на рисунке 1 (буквы и стандартным образом отражают случайную процентную ставку по акции, а буква — процентную ставку банковского счета). Так как, то выбран дисконтированный рынок.

Созданное программой дерево модели показано на рисунке 2.

Рис. 2. Дерево модели

Если в какой-то момент времени в модели возникает сбой, то в результате полная и безарбитражная модель финансового рынка превращается в неполную. Сбой моделируется с параметрами, указанными на рис. 3, где, а (см. пункт 2 алгоритма).

сбой рынок цена акция.

Рис. 3. Параметры моделирования сбоев

В результате получаем процесс эволюции цены акции со сбоями (нижний индекс — временной, а верхний указывает номер атома):, ,. Получили неполный рынок.

Для выбора типа платежного обязательства предназначена специальная панель. С ее помощью задаем как опцион продажи при цене поставки цену. А именно,, ,, ,, ,,. Применяя технику мартингальных деформаций, можно вычислить полный капитал самофинансируемого портфеля. Вычисления показывают, что аналог справедливой цены выбранного платежного обязательства равен 1,7.

Метод хааровских интерполяций, разработанный в [1,2], к сожалению, не позволяет интерполировать построенный рынок до полного и рассчитать соответствующий совершенный хедж.

Данная работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 13−01−637а.

• 1. Богачева М. Н., Павлов И. В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных [Текст] // УМН, 2002. — Т. 57. — Вып. 3. — С. 143−144.
• 2. Богачева М. Н., Павлов И. В. О хааровских расширениях безарбитражных финансовых рынков до безарбитражных и полных [Текст] // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2002. — № 3. С. 16−24.
• 3. Shreve S.E. Stochastic Calculus for Finance I. The Binomial Asset Pricing Model [Текст] // Springer Verlag N.Y., 2004. — 187 p.
• 4. Schumacher N. Binomial option pricing with nonidentically distributed returns and its implications [Текст] // Mathematical and Computer Modeling, 1999. — № 29. — P. 121−143.
• 5. Detemple J., Sundaresan S. Nontraded asset valuation with portfolio constraints: a binomial approach [Текст] // The Review of Financial Stadies, 1999. — Vol. 12. — № 4. — P. 835−872.
• 6. Favero G. Shortfall risk minimization under model uncertainty in the binomial case: adaptive and robust approaches [Текст] // Math. Meth. Oper. Res., 2001. — № 53. — P. 493−503.
• 7. Назарько О. В. Слабые деформации на бинарных финансовых рынках [Текст] // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2010. — Вып. 1. — С. 12−18.
• 8. Назарько О. В., Павлов И. В. Рекуррентный метод построения слабых деформаций по процессу плотностей в рамках модели стохастического базиса, снабженного специальной хааровской фильтрацией [Текст] // Вестник РГУПС, 2012. — № 1. — С. 200−208.
• 9. Красий Н. П. О вычислении спрэда для обобщённой модели (B, S)-рынка в случае скупки акций [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2012, № 4 (часть 2). — Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1378 (доступ свободный). — Загл. с экрана. — Яз. рус.
• 10. Назарько О. В., Павлов И. В., Чернов А. В. Моделирование оптимальной полосы пропускания телекоммуникационных каналов при условии гарантированной и негарантированной доставки пакетов [Электронный ресурс] // «Инженерный Вестник Дона», 2012, № 1. — Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n1y2012/652 (доступ свободный). — Загл. с экрана. — Яз. рус.