Постановка задачи. О задаче сопряжения для псевдопараболических уравнений третьего порядка

В области, ограниченная линиями где — монотонно невозрастающая кривая, причем. Рассмотрим задачу сопряжения для уравнений.

(1).

(2).

где: .

Пусть означает класс функций, имеющих производные Относительно коэффициентов и заданных функций предполагаем следующее.

(3).

Уравнения вида (1) и (2) часто называются псевдопараболическими по характеру свойств решений [6; 7]. Вырождающиеся параболические уравнения вида (1) рассмотрены в работах [1; 2; 6]. Частные случаи уравнений вида (1) и (2) встречаются при изучении поглощения почвенной влаги растениями [3].

Задача 1. Найти функцию, удовлетворяющую уравнения (1) и (2) в областях и соответственно краевым условиям.

(4).

(5).

и начальному условию.

(6).

где: — заданные гладкие функции, причем.

(7).

Введем следующие обозначения.

(8).

где — пока неизвестные функции.

Соотношения, полученные из области

Продифференцировав уравнение (1) по будем иметь.

(9).

где: — известная функция.

Рассмотрим следующую смешанную задачу: найти в области решения уравнения (9), удовлетворяющие краевые условия.

(10).

Решение задачи (9), (10) через функции Грина представимо в виде [4].

(11).

где:

псевдопараболический уравнение сопряжение тождество.

— является решением следующей сопряженной задачи.

При из (11) получаем соотношение между и :

(12).

где:

.