Течение по трубе

Известно несколько точных решений для уравнений Навье-Стокса. Рассмотрим одно из них — для случая стационарного течения жидкости в трубе произвольного сечения (одинакового вдоль всей длины трубы).

Ось трубы выберем в качестве оси. Очевидно, что скорость жидкости направлена везде по оси и является функцией только от и .

Уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно, а проекции на оси и из системы уравнений Навье-Стокса дают.

.

То есть давление постоянно вдоль сечения трубы. Уравнение в проекции на ось х дает.

.

Откуда имеем, что, градиент давления можно записать в виде, где — разность давлений на концах трубы, а — ее длина.

Распределение скоростей в потоке жидкости в трубе определяется двумерным уравнением типа .

Уравнение должно быть решено при граничном условии на контуре сечения трубы.

Решим это уравнение для трубы кругового сечения. Выбирая начало координат в центре трубы кругового сечения и вводя полярные координаты, имеем в силу симметрии .

Воспользуемся выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, имеем.

.

Интегрируя, находим.

.

Постоянную a надо положить равной нулю, поскольку скорость должна оставаться конечной во всем сечении трубы, включая ее центр.

Постоянную b определим из требования, при r = R (где R — радиус трубы) и получаем.

.

Таким образом, скорость распределена по сечению трубы по параболическому закону.

Определим расход жидкости в трубе — количество (массу) жидкости Q, протекающей в 1 секунду, через поперечное сечение трубы.

Через кольцевой элемент площади сечения трубы проходит в 1 секунду количество жидкости .

Поэтому.

.

Количество протекающей жидкости пропорционально четвертой степени радиуса трубы.