Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические функции)

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть для любого х из области определения число (-х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные.

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f (-x) = f (x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Пример 3. Определить вид функции.

y = 2cos2x.

у = 2cos2x,.

D (y) = R.

y (-x) = 2cos2(-x) = -2cos2x = 2cos2x = y (x) — четная.

Пример 4. Определить вид функции.

y = x4 — 2×2 + 2.

Y = x4 — 2×2 + 2,.

D (y) = R.

y (-x) = (-x)4 — 2(-x)2 + 2 = x4 — 2×2 + 2 = y (x) — четная.

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f (-x) = -f (x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 5. Определить вид функции.

y = 2sin2x.

у = 2sin2x,.

D (y) = R.

y (-x) = 2sin2(-x) = -2sin2x = -y (x) — нечетная.

Пример 6. Определить вид функции.

y = 3x + 1/3x.

у = 3x + 1/3x.

y (-x) = 3(-x) + 1/3(-x) = -3x — 1/3x = -(3x + 1/3x) = -y (x) — нечетная.

Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т? 0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, хТ и х+Т равны, то есть f (x+T) = f (x) = f (x-T).

Пример 7. Определить период функции.

y = cos2x.

cos2x = cos2(x+T) = cos (2x+2T),.

где 2T = 2р, т. е. Т = р.

Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния nT вправо и влево вдоль оси Ох.

Пример 8. Построить график периодической функции.

f (x) = sin2x.

f (x) = sin2x,.

sin2x = sin2(x+T) = sin (2x+2T),.

где 2 Т = 2р, т. е. Т = р.