Теоретические распределения. 
Случайные величины

Биномиальное распределение

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие, А может произойти с одной и той же вероятностью р (следовательно, вероятность непоявления q=1 — p). Дискретная случайная величина Х — число наступлений события, А — имеет распределение, которое называется биномиальным.

Очевидно, событие, А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Таким образом, возможные значенияХ таковы: х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2,…, хn+1 = n. Вероятность возможного значения Х = k (числа k появления события) вычисляют по формуле Бернулли:

Pn (k) = Cnk· pk·qn-k,.

где k = 0, 1, 2, …, n.

Ряд распределения случайной величины Х, подчиненной биномиальному закону, можно представить в виде следующей таблицы:

Название закона связано с тем, что вероятности Pn (k) при k = 0, 1, 2, …, n являются членами разложения бинома Ньютона.

(p + q) n = qn + Cn1· p1·qn-1 + … + Cnk· pk·qn-k + … +pn.

Отсюда сразу видно, что сумма всех вероятностей второй строки таблицы равна 1, так как p +q =1.

Задача. В цехе работают четыре станка. Вероятность остановки в течение часа каждого из них равна 0,8. 1) Найти закон распределения случайной величины Х — числа станков, остановившихся в течение часа. 2) Найти вероятность остановки в течение часа: а) более двух станков; б) от одного до трех станков.

Решение. 1) Возможные значения Х следующие: 0, 1, 2, 3, 4. Вероятность этих значений можно найти по формуле Бернулли, потому что Х имеет биномиальное распределение (станки останавливаются независимо друг от друга с постоянной вероятностью р=0,8). Получаем р4(0)=q4=0,0016,р4(1)=C41p1q3=0,0256, р4(2)= C42 p2q2 = 0,154, р4(3)=C43 · p3· q1=0,41, р4(4)= p 4 = 0,41. Ряд распределения имеет вид.

• 2) а) Р (X>2)= P (X =3)+P (X=4)=0,41+0,41=0,82.
• б) P1? X?3)=P (X=1)+P (X=2)+ P (X=3)=0,0256+0,154+0,41=0,59.