Гипотезы о неизвестном математическом ожидании а при неизвестной дисперсии а2

Теоретическая задача 15.4. Построим критерий отношения правдоподобия для случайной величины % ~ N (a, а²) с неизвестной дисперсией а² и неизвестным математическим ожиданием а, относительно которого имеются две гипотезы: основная Я₀: a = а₀, альтернативная Я_х: а > а₀.

Решение. По результатам наблюдений х_х, х₂, …, х" находим среднее значение х и исправленную дисперсию S%. В теоретической задаче 15.1.

была использована статистика г|=———yfn, подчиняющаяся стандартен ному нормальному распределению. Замена по необходимости генеральной дисперсии а² на исправленную выборочную S² приводит к другой статистике t=^: которая имеет распределение Стьюдента.

S_n

с п — 1 степенью свободы, т. е. t = t"__x.

Введя х_кр = ха. _п-1, получим: при t < х_кр (t_n__a < ха. _n_j) гипотеза Н₀ принимается, при t >х_кр отклоняется.*.

Аналогично теоретической задаче 15.4 (случай А) проверяются еще две гипотезы.

Случай Б. Основная гипотеза Н₀: а-а₀ и альтернативная Н_г: а < а₀.

Если t > -х_кр, то гипотеза Н₀ принимается, если t < -х_кр, то отклоняется.

Случай В. Основная гипотеза Н₀: а = а₀ и альтернативная Н_х: а * а₀.

Возникают две критические области, в каждую из которых случайная величина t попадает с вероятностью —. Соответственно, t = t_n__v х =.

= ^ха/2; п-1- ²

Если |t| < х_кр, то гипотеза Н₀ принимается, если |t| ^х^, то отклоняется.

В случаях А, Б и В квантили х_кр в статистике t находят для односторонней критической области.

Пример 15.1. тубонаполняющая машина фасует зубную пасту в тюбики объемом а = 100 мл с точностью 3%. С целью проверки рабочего состояния машины сделана случайная выборка. Средний объем наполнения 25 тюбиков оказался равным х = 99,5 мл. При уровне значимости, а = 0,01 проверить гипотезу о том, что средний объем тюбика соответствует номиналу.

Решение. Основная гипотеза Н₀: а = а₀= 100.

Альтернативная гипотеза Нр а = < а₀.

Точность 6 = 3% позволяет найти среднее квадратическое отклонение из равенства б = —-100% = 3%, где, А — номинальный объем тюбика. Имеем А

а=1 мл.

Условие принятия гипотезы Н₀ имеет вид Г| > -x_KD, где ц = ———fn =

а.

99,5−100 /— «, 1.

=—-V25 =-2,50, квантильх_кр находится из уравнения Ф₀(-х_кр)=^—а и равен х_кр = -2,33. Условие р > -х_кр не выполнено, гипотеза Н₀ отклоняется, тубонаполняющая машина нуждается в проведении регулировки.