Динамика вращательного движения тела

Приложим к маховику вентиля силу, линия действия которой проходит через ось его вращения. Вентиль останется в состоянии покоя. Теперь направим силу под углом к этому направлению (в плоскости маховика), и вентиль повернется. Чтобы понять, в чем разница, рассмотрим частицу 1, жестко связанную с центром О вращения, на которую в плоскости чертежа действует сила F (см. рис. 3.1). Ее составляющая F, направленная по радиусвектору г частицы, вызовет только упругую реакцию f ее связи с центром вращения, а перемещение dl, частицы происходит под действием составляющей F_t. Приложенная сила совершит работу.

где учтено равенство dl = rdy>. Сопоставим формулу (3.9) с формулой (2.3). Если </ф — это аналог перемещения, то rfsin, а выступает как аналог модуля силы (точнее, ее проекции на перемещение). Его называют модулем момента силы относительно центра вращения (понятие момента силы ввел еще Архимед):

где d = rsin а (см. рис. 3.1) — кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы. Оно называется плечом силы. Формула (3.10) представляет собой модуль векторного произведения векторов г и F.

которое определяет направление вектора М. Если на частицу действует несколько моментов сил. то [проявляется их аддитивность:

Результирующий момент равен векторной сумме моментов отдельных сил.

Примеры практики.

• 1. Момент силы, вращающий наждачный круг, и момент силы, возникающий от его торможения затачиваемым резцом, направлены в противоположные стороны.
• 2. Реакция в пятне контакта автомобильного колеса и валика, который оно выдавливает, создает момент, препятствующий вращению колеса (см. рис. 1.9).

На рис. 3.3, 6 показано тело, вращающееся относительно оси z. В отличие от рис. 3.1 сила F не лежит здесь в плоскости вращения частицы 1 и потому формирует дополнительную составляющую F₂, параллельную оси вращения. На угловое ускорение она не влияет, но создает момент силы, изгибающий ось вращения. Для автомобильного колеса, например, он возникает при заносе или перекосе полуоси.

Составляющая F,., как и на рис. 3.1, не влияет на вращение, так как ее плечо равно нулю, — она лишь формирует нагрузку на ось вращения. Для оси автомобильного колеса эта сила — составляющая веса автомобиля. Таким образом, угловое ускорение определяется только составляющей F., перпендикулярной оси вращения и создающей момент вращения М, который называют моментом силы относительно оси вращения. Его направление определяется формулой (3.11). На автомобильное колесо такой вращающий момент действует со стороны шпилек и болтов, которые крепят его к ступице.

Момент силы совершает работу по приданию частице кинетической энергии Е_к = mv²/2. Пользуясь формулой (3.6), преобразуем ее к виду Е_к = = (mr²)co²/2 и сравним с формулой Е_к для поступательного движения. Поскольку со — это аналог линейной скорости v> то в качестве аналога массы здесь выступает произведение тг², которое получило название момента инерции частицы относительно центра ее вращения:

(3.13).

Как следует из формулы (3.13), момент инерции измеряется в кгм². Таким образом, кинетическая энергия частицы.

Для ее получения совершена работа, выражение для которой следует из формул (3.9), (3.10) и (3.14):

Интегрируя эти выражения, легко найти работу по раскручиванию частицы на конечный угол. Подставляя в формулу (3.15) выражение (3.1), получаем Melt =J (kо, т. е. М =Jz. Из сопоставления формул (3.8) и (3.11) следует, что Мне — сонаиравленные векторы. Поэтому в векторной форме.

Это выражение по форме и смыслу аналогично выражению (1.34), однако при переходе от частицы к телу между формулами проявляются отличия. При поступательном движении все частицы тела движутся одинаково. Поэтому его масса входит в уравнение (1.34) в виде суммы масс его частиц. При вращательном движении следует складывать уже не массы, а моменты инерции J (3.13), а они различны ввиду различий радиус-векторов г частиц тела относительно центров их вращения, расположенных на оси. Второе отличие в том, что при поступательном движении в уравнение (1.34) входит векторная сумма сил, а при вращательном — сумма их моментов М, которые зависят не только от модулей и направлений, но и от точек приложения сил.

Чтобы получить закон динамики для вращающегося тела, воспользуемся тем, что оно как целое имеет кинетическую энергию, полученную в результате работы по его раскручиванию. Элементарная работа по перемещению произвольных частиц тела 1 и 3 (см. рис. 3.1) равна.

где F, F₃ — внешние силы, действующие на частицы; f_l3, f₃₁ — силы связи между ними; dl_v dl₃ — элементарные перемещения частиц. На основании формул (3.9), (3.10) выражение (3.17) преобразуется к виду.

где учтено, что угол rf (p для всех частиц одинаков. Силы связи f₁₃ и f_3l имеют одинаковые плечи относительно центра вращения, равны по модулю и направлены вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны. Следовательно, второе слагаемое правой части равенства (3.18) для любых пар частиц равно нулю. Тогда для тела в целом.

где справа — сумма модулей моментов внешних сил. Их работа идет на приращение кинетической энергии тела, которая равна сумме кинетических энергий его частиц. На основании формул (3.13), (3.14) получаем.

где Эта сумма называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Из формулы (3.20) следует.

Из формул (3.19) и (3.22) получаем.

где М = ХМ, — и е обозначены как векторные величины, поскольку чаще всего.

i

они сонаиравлены. Формула (3.23) — эго основной закон динамики вращательного движения: угловое ускорение тела пропорционально сумме моментов внешних сил относительно оси его вращения и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно той же оси.

Этот закон получен как следствие второго и третьего законов Ньютона для тел, момент инерции которых в процессе движения остается постоянным. По форме это аналог второго закона Ньютона. Его изучают в лабораторном практикуме.

В геометрии стрелкового оружия учтено, что глаз, осуществляющий прицеливание вдоль ствола, и место упора приклада (плечо стрелка) находятся на разной высоте (рис. 3.4). На затвор (и приклад) действует сила отдачи F, проекция которой /•', = Fcoscp определяет толчок в плечо (отдача), а проекция F., = /'simp создает момент силы относительно точки А упора приклада. Это приводит к вздергиванию ствола вверх, сказывается на точности стрельбы и учитывается при пристрелке оружия.

Рис. 3.4.

2. Лишнюю в данное время энергию можно направить на работу по раскручиванию маховика, а когда она потребуется, ее можно вернуть в систему. Такая технология называется рекуперацией. Ее применяют на транспорте, в энергетике и т. д.

Как следует из формулы (3.23), мерой инертности тела при вращательном движении служит момент инерции J. Его расчет относительно прост для однородных тел правильной геометрической формы.

1. Тонкостенная трубка (или кольцо) массой т отличается тем, что все ее частицы имеют равные радиус-векторы относительно оси симметрии (рис. 3.5, а). Поэтому.

2. Если вращается однородный диск с плотностью материала р, то его можно представить как совокупность i таких колец с шириной обода Аг (рис. 3.5, б). В соответствии с формулой (3.24) J_: = myf, где m, = 2крЬ)Аг. Переходя к пределу Аг —*• dr и складывая (интегрируя) моменты инерции всех колец, получаем

где т — масса диска.

Рис. 3.5.

3. Подобный расчет нетрудно сделать и для однородных симметричных тел иной формы, если ось вращения проходит через их центр инерции. Например, прямолинейный тонкий стержень массой т и длиной / имеет момент инерции относительно перпендикулярной ему оси ml²/12; у сплошного шара момент инерции относительно оси, проходящей через его центр, 2mR²/5 и т. д.

Ось вращения далеко не всегда проходит через центр инерции тела. В таких случаях пользуются теоремой Штейнера: если момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр инерции, равен j₀, то его момент инерции]_а относительно любой другой оси, параллельной этой, определяется выражением

где b — расстояние между осями (см. рис. 3.5, б).

Если тело неоднородно или имеет несимметричную форму, то интегрирование типа (3.25) становится громоздким. В таких случаях момент инерции определяют экспериментально, измеряя характеристики таких движений, которые от него зависят, например колебаний. Подобные методы применяют для коленчатых валов, блоков шестерен, винтов судов и самолетов и т. д. (в лабораторном практикуме изучают колебания детали, лежащей на платформе трифилярного подвеса).

Из формулы (3.21) следует, что при равных массах частиц их вклад в момент инерции тела тем больше, чем больше их радиус-вектор.

Примеры практики.

• 1. Маховик, насаженный на коленчатый вал автомобиля, представляет собой относительно тонкий диск с массивным «венцом» на периферии. Благодаря такому перераспределению массы он имеет повышенный момент инерции и потому во время пауз в работе цилиндров поддерживает движение вала по инерции, что позволяет выводить поршни из мертвых точек, сжимать рабочую смесь и т. д. Это типичный пример упомянутой выше рекуперации. Такой маховик — для повышения плавности хода велосипеда — использовал еще русский изобретатель И. П. Кулибин (1735−1818).
• 2. На некоторых гоночных автомобилях двигатель располагают не в передней или задней части корпуса, а посередине. В таком случае момент инерции машины относительно ее центра инерции уменьшается, что обеспечивает большую маневренность при поворотах, требующих меньших моментов сил.

Вследствие неоднородности материала, неточности изготовления детали и ее центровки возникают центробежные силы по разные стороны оси, которые не вполне компенсируют друг друга. Такой дисбаланс вызывает периодические поперечные нагрузки на ось, ослабляет крепеж, создает деформации и даже может привести к разрушениям конструкций. Балансировка особенно важна для массивных тел, вращающихся с большой угловой скоростью.