Примеры комбинаторных конфигураций и задач

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:

• · Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
• · Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…, n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением изn элементов по n.
• · Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
• · Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.
• · Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.

Разделы комбинаторики

Перечислительная комбинаторика:

Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая комбинаторика) рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.

Количество конфигураций, образованных несколькими манипуляциями над множеством, подсчитывается согласно правилам сложения и умножения.

Типичным примером задач данного раздела является подсчёт количества перестановок. Другой пример — известная Задача о письмах.

Структурная комбинаторика:

К данному разделу относятся некоторые вопросы теории графов, а также теории матроидов.

Экстремальная комбинаторика:

Примером этого раздела может служить следующая задача: какова наибольшая размерность графа, удовлетворяющего определённым свойствам.

Теория Рамсея:

Основная статья: Теория Рамсея Теория Рамсея изучает наличие регулярных структур в случайных конфигурациях элементов. Примером утверждения из теории Рамсея может служить следующее:

в группе из 6 человек всегда можно найти трёх человек, которые либо попарно знакомы друг с другом, либо попарно незнакомы.

В терминах структурной комбинаторики это же утверждение формулируется так:

в любом графе с 6 вершинами найдётся либо клика, либо независимое множество размера 3.

Вероятностная комбинаторика:

Этот раздел отвечает на вопросы вида: какова вероятность присутствия определённого свойства у заданного множества.

Топологическая комбинаторика:

Топологическая комбинаторика (англ.) применяет идеи и методы комбинаторики в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.

Инфинитарная комбинаторика:

Инфинитарная комбинаторика (англ.) — применение идей и методов комбинаторики к бесконечным (в том числе, несчётным) множествам.