Примеры игр с неполной и несовершенной информацией

В данном параграфе рассмотрены примеры, в которых требуется найти слабое секвенциальное равновесие.

Пример 6.2. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.7.

Решение

У первого игрока — четыре стратегии {ае, ak, ie, ik}, у второго — две {b, j}.

1. Пусть второй игрок выбирает стратегию Ь. Выясним, какова будет при этом наилучшая стратегия первого игрока.

При ходе Природы t выбор первым игроком хода а даст 2, а выбор хода i — 5. Следовательно, лучшим ответом при ходе Природы t является i.

При ходе Природы t₂ выбор первым игроком хода е даст 2, а выбор хода k — 5. Следовательно, лучшим ответом при ходе Природы t₂ является к.

Наилучшим ответом первого игрока на стратегию Ь является ik: b => ik.

Поскольку информационное множество второго игрока находится на траектории равновесия, веры, согласованные со стратегиями (ik; b) равны 0,5.

Пусть первый игрок выбирает стратегию ik. Выясним, какова будет при этом наилучшая стратегия второго игрока. При выборе им стратегии b ожидаемый выигрыш равен 0,5−2-г0,5−10 = 6, а при выборе стратегии j ожидаемый выигрыш равен 5.

Наилучшим ответом второго игрока на стратегию ik является Ь.

{(ik;b),. 1 = 0,5} — слабое секвенциальное равновесие в данной игре.

2. Пусть теперь второй игрок выбирает стратегию j. Выясним, какова будет при этом наилучшая стратегия первого игрока.

При ходе Природы t выбор первым игроком хода а даст 2, а выбор хода i даст 0. Следовательно, лучшим ответом при ходе Природы t является а.

При ходе Природы ?₂ выбор первым игроком хода е даст 2, а выбор хода к даст 0. Следовательно, лучшим ответом при ходе Природы t-> является е.

Наилучшим ответом первого игрока на стратегию j является ае: j => ае.

Пусть теперь первый игрок выбирает стратегию ае. Выясним, какова будет при этом наилучшая стратегия второго игрока. Заметим, что какую бы стратегию он не выбирал, его выигрыш будет равен 10.

Информационное множество второго игрока находится вне траектории равновесия. Определение слабого секвенциального равновесия требует, чтобы были вычислены веры, при которых ход j второго игрока будет не хуже хода Ь:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 6.7.

Профиль стратегий и веры — слабое секвенциальное

равновесие в данной игре.

Пример 6.3. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.8.

Рис. 6.8.

Решение

У первого игрока — четыре стратегии {ае, ak, ie, ik}, у второго — две {b;j}.

1. Пусть второй игрок выбирает стратегию Ь. Выясним, какова будет при этом наилучшая стратегия первого игрока.

При ходе Природы ty выбор первым игроком хода а даст 3, а выбор хода i — 0. Следовательно, лучшим ответом при ходе Природы ty является а.

При ходе Природы t₂ выбор первым игроком хода е даст 1, а выбор хода к — 4. Следовательно, лучшим ответом при ходе Природы 6> является к.

Наилучшим ответом первого игрока на стратегию b является а к: b => ак.

Пусть теперь первый игрок выбирает стратегию ак. Тогда вера, согласованная с этой стратегией, равна нулю: р = 0. И в этом случае (нижняя точка информационного множества) имеем j > b (4 > 0), т. е. наилучшим ответом второго игрока на выбор первым игроком стратегии ak является j. Отсюда следует, что не существует слабого секвенциального равновесия, в котором второй игрок выберет стратегию Ь.

2. Пусть теперь второй игрок выбирает стратегию j. Выясним, какова будет при этом наилучшая стратегия первого игрока.

При ходе Природы ty выбор первым игроком хода а даст 3, а выбор хода i — 5. Следовательно, лучшим ответом при ходе Природы ty является i.

При ходе Природы f₂ выбор первым игроком хода е даст 1, а выбор хода к — А. Следовательно, лучшим ответом при ходе Природы t₂ является к.

Наилучшим ответом первого игрока на выбор стратегии j является ik: j => ik.

Поскольку траектория ik направлена в информационное множество при обоих типах, то вера р = 0,7.

Пусть теперь первый игрок выбирает стратегию ik. Выясним, какова будет при этом наилучшая стратегия второго игрока.

При выборе им стратегии b ожидаемый выигрыш равен 4р + 0-(1-р) = 4р = 2,8, а при выборе стратегии^' ожидаемый выигрыш равен О • р + 4 • (1 — р) = 1,2. Следовательно, Ь > j и не существует слабого секвенциального равновесия, в котором второй игрок выберет стратегию/.

Ответ: в данной игре не существует слабых секвенциальных равновесий. Пример 6.4. Найти все слабые секвенциальные совершенные в подыграх равновесия в последовательной игре на рис. 6.9.

Рис. 6.9.

Решение

Стратегии игроков:

В данной игре одна подыгра, начинающаяся после хода Природы t$. В этой подыгре х>у (4 > 3). Поэтому вторую и четвертую колонку можно сразу исключить из рассмотрения.

1. Найдем все слабые секвенциальные совершенные в подыграх равновесия в первой колонке (второй игрок выбирает стратегию Ьх).

При типе t первый игрок выбирает между ходом а (выигрыш равен 1) и ходом i (выигрыш равен 2). Очевидно, он выбирает г.

При типе t-2 первый игрок выбирает между ходом е (выигрыш равен 5) и ходом k (выигрыш равен 5). Ходы эквивалентны.

Следовательно, оптимальным ответом на стратегию Ьх второго игрока являются стратегии ie и ik первого игрока:

Пусть теперь первый игрок выбрал стратегию ie. Вера р второго игрока при этом будет равна 1 и Ьу j (7 > 1). И поскольку при типе 13 имеем хуу, то {(ie; bx); р = 1} — слабое секвенциальное равновесие.

Пусть теперь первый игрок выбрал стратегию ik. Вера р второго игрока при этом будет равна

Выигрыш второго игрока при ходе b равен U₂(b) = 0,5−7 + 0,5−4 = 5,5. Выигрыш второго игрока при ходеу равен U₂(j) = 0,5−1 + 0,5−8 = 4,5. Следовательно, byj. Тогда {(г&6х);р = 0,5} — слабое секвенциальное равновесие.

2. Найдем все слабые секвенциальные совершенные в подыграх равновесия в третьей колонке (второй игрок выбирает стратегию jx).

При типе t первый игрок выбирает между ходом а (выигрыш равен 1) и ходом г (выигрыш равен 3). Очевидно, он выбирает г.

При типе t₂ первый игрок выбирает между ходом е (выигрыш равен 5) и ходом k (выигрыш равен 7). Очевидно, он выбирает к.

Следовательно, оптимальным ответом на стратегию jx второго игрока является стратегия ik первого игрока: jx => ik.

Пусть теперь первый игрок выбрал стратегию ik. Вера и при этом будет равна

Выигрыш второго игрока при ходе b равен U₂(b) = 0,5−7 + 0,5−4 = 5,5.

Выигрыш второго игрока при ходе у равен U₂(j) = 0,5−1 + 0,5−8 = 4,5. Следовательно, byj и не существует слабого секвенциального равновесия, в котором стратегия второго игрока равна ух Пример 6.5. Найти все слабые секвенциальные совершенные в подыграх равновесия в последовательной игре на рис. 6.10.

Рис. 6.10.

Решение

Стратегии игроков:

В данной игре одна подыгра, начинающаяся после хода Природы ?₃. В этой подыгре х>у (4 > 3). Поэтому вторую и четвертую колонку можно сразу исключить из рассмотрения.

1. Найдем все слабые секвенциальные равновесия в первой колонке (второй игрок выбирает стратегию Ьх).

При типе t первый игрок выбирает между ходом а (выигрыш равен 4) и ходом i (выигрыш равен 2). Очевидно, он выбирает а.

При типе² первый игрок выбирает между ходом е (выигрыш равен 6) и ходом к (выигрыш равен 5). Очевидно, он выбирает е.

Следовательно, оптимальным ответом на стратегию Ьх второго игрока является стратегия ае первого игрока: Ьх => ае.

Пусть теперь первый игрок выбрал стратегию ае. Информационное множество второго игрока оказалось вне траектории равновесия. Вычислим, при каких значениях веры р выигрыш второго игрока при ходе Ь будет не меньше выигрыша при ходе у:

Получили, что {(ае, Ьх); р е [0,4; 1]} — слабое секвенциальное равновесие, совершенное в подыграх.

2. Найдем все слабые секвенциальные равновесия в третьей колонке (второй игрок выбирает стратегию уж).

При типе t первый игрок выбирает между ходом а (выигрыш равен 4) и ходом i (выигрыш равен 3). Очевидно, он выбирает а.

При типе ?₂ первый игрок выбирает между ходом е (выигрыш равен 6) и ходом k (выигрыш равен 7). Очевидно, он выбирает к.

Следовательно, оптимальным ответом на стратегию уж второго игрока является стратегия ак первого игрока: jx=>ak.

Вера р второго игрока при этой стратегии равна 0. И тогда j>b (8 > 4).

Получили, что {(ak, уж); р = 0} — слабое секвенциальное равновесие, совершенное в подыграх.

Пример 6.6. Найти слабое секвенциальное равновесие в последовательной игре на рис. 6.11.

Рис. 6.11.

Решение

Стратегии игроков:

1. Найдем равновесие в первой колонке (второй игрок играет стратегию Xz).

Наилучшими ответами первого игрока являются: при типе t_t — а; при типе l‘i — с; при типе ?3 — е, т. е. стратегия асе: хг => асе.

Пусть теперь первый игрок выбирает стратегию асе. Тогда вера ц второго игрока равна . Оценим действия второго игрока в этом информационном множестве: U₂(x)-0,5−9 + 0,5−0 = 4,5; U ₂ (у) = 0,5 • 9 + 0,5 • 3 = 6; у Ух, что противоречит исходному условию оптимальности второго игрока xz. Следовательно, в первой колонке не существует слабого секвенциального равновесия.

2. Найдем равновесие во второй колонке (второй игрок играет стратегию xt).

Наилучшими ответами первого игрока являются: при типе t — а; при типе ?₂ — с; при типе ?₃ — е, т. е.стратегия асе: xt => асе.

Пусть теперь первый игрок выбирает стратегию асе. Вера второго игрока равна, как и в первом случае, . Оценим действия второго игрока: U₂(x) = 0,5 • 9 + 0,5 • 0 = 4,5; U₂ (у) = 0,5 • 9 + 0,5 • 3 = 6; у ух, что противоречит исходному условию оптимальности второго игрока xz. Следовательно, и во второй колонке не существует слабого секвенциального равновесия.

3. Найдем равновесие в третьей колонке (второй игрок играет стратегию yz).

Наилучшими ответами первого игрока являются: при типе t — а; при типе t₂ — d; при типе ?₃ — е, т. е. стратегия ade: yz => ade.

Пусть теперь первый игрок выбирает стратегию ade. Тогда веры второго игрока равны р = 1; v = 0. И при этих верах получим U₂(x) = U₂(y) => х ~ у и U₂(z)>U₂(t)=>zyt (5 >4).

Таким образом, {(ade, yz), = 1; v = 0} — слабое секвенциальное равновесие.

4. Найдем равновесие в четвертой колонке (второй игрок играет стратегию yi).

Наилучшими ответами первого игрока являются: при типе t — а; при типе t₂ — с и d, при типе t_:i — е, т. е. стратегии асе и ade:

Пусть первый игрок выбирает стратегию асе. Тогда р = 0,5, и при такой вере получим U₂(x) = 4,5; U₂(y) — 6; х к у, ч то удовлетворяет исходной предпосылке.

Для вычисления веры второго игрока v мы не вправе пользоваться формулами Байеса, поскольку информационное множество находится вне траектории равновесия. Выясним, при каких значениях вер v ход t будет для второго игрока не хуже, чем ход z:

Следовательно, — слабое секвенциальное равновесие.

Пусть первый игрок выбирает стратегию ade. Тогда веры второго игрока равны p = l;v = 0. И при этих верах получим U₂(x) = U₂(y)=>x~y и U₂(z)>U₂(t) (5 > 4). Значит, z>t, что не удовлетворяет исходной предпосылке.

Ответ:

Пример 6.7. Найти все слабые секвенциальные равновесия в последовательной игре на рис. 6.12.

Рис. 6.12.

Решение

Стратегии игроков:^[1]

При типе t первый игрок выбирает между ходом а (выигрыш равен 2) и ходом b (выигрыш равен 0). Очевидно, он выбирает а.

При типе ti первый игрок выбирает между ходом с (выигрыш равен 4) и ходом d (выигрыш равен 1). Очевидно, он выбирает с.

При типе ?₃ первый игрок выбирает между ходом е (выигрыш равен 2) и ходом / (выигрыш равен 1). Очевидно, он выбирает е.

Следовательно, оптимальным ответом на стратегию xt второго игрока является стратегия асе первого игрока: xt: => асе.

Пусть теперь первый игрок выбрал стратегию асе. Тогда Оценим выигрыши второго игрока:

что противоречит исходным предпосылкам.

3. Найдем все слабые секвенциальные равновесия в третьей колонке (второй игрок выбирает стратегию yz).

При типе t первый игрок выбирает между ходом а (выигрыш равен 3) и ходом b (выигрыш равен 1). Очевидно, он выбирает а.

При типе t’i первый игрок выбирает между ходом с (выигрыш равен 1) и ходом d (выигрыш равен 3). Очевидно, он выбирает d.

При типе ?₃ первый игрок выбирает между ходом е (выигрыш равен 0) и ходом / (выигрыш равен 3). Очевидно, он выбирает /.

Следовательно, оптимальным ответом на стратегию yz второго игрока является стратегия adf первого игрока: yz => adf.

Пусть теперь первый игрок выбрал стратегию adf. Тогда р, = 1; ц₂ = р₃ = 0; V, =0; v₂ = v₃ =0,5.

Оценим выигрыши второго игрока: U₂(x) = 3; U₂(y) = t; х>-у, что противоречит исходным предпосылкам.

4. Найдем все слабые секвенциальные равновесия в четвертой колонке (второй игрок выбирает стратегию yt).

При типе t первый игрок выбирает между ходом а (выигрыш равен 3) и ходом b (выигрыш равен 0). Очевидно, он выбирает а.

При гипс t₂ первый игрок выбирает между ходом с (выигрыш равен 1) и ходом d (выигрыш равен 1). Выигрыши равны.

При типе ?₃ первый игрок выбирает между ходом е (выигрыш равен 0) и ходом/(выигрыш равен 1). Очевидно, он выбирает/.

Следовательно, оптимальными ответами на стратегию г/? второго игрока являются стратегии acf и adf первого игрока:

Пусть теперь первый игрок выбрал стратегию acf.

Тогда

Оценим выигрыши второго игрока:

Таким образом, {(ас/;yt); = р₂ ⁼ 0,5; р₃ = 0; v_t = v₂ = 0; v₃ = 1} — слабое секвенциальное равновесие.

Пусть теперь первый игрок выбрал стратегию adf.

Тогда р, = 1; р₂ = р₃ = 0; V, = 0; v₂ = v₃ = 0,5.

Оценим выигрыши второго игрока: U₂(x) = 3; U₂(y) = 1; х Уу, что противоречит исходным предпосылкам.

Пример 6.8. Найти все слабые секвенциальные равновесия в последовательной игре на рис. 6.13.

Рис. 6.13.

Решение

Нормализуем игру:

Равновесия: NE — {(а; т), (с; п)}.

1. Рассмотрим первое равновесие (а; т).

При выборе первым игроком стратегии а вера второго игрока должна быть согласована с этой стратегией. Это значит, что при стратегии а первого игрока вера второго игрока в его расположении в левом узле информационного множества равна 1 (р = 1). И тогда, очевидно, тУп, поскольку 0 > -1.

Следовательно, {(«; т)] р = 1} — слабое секвенциальное равновесие.

2. Рассмотрим равновесие (с; п).

При стратегии с первого игрока информационное множество второго игрока расположено вне траектории равновесия, и поэтому следует определить веры, при которых пУт:

Следовательно, {(с;и);ре[0;0,5]} — слабое секвенциальное равновесие.

Ответ: {(й;т);р = 1}, {(с;");ре[0;0,5|}.

Рис. 6.14.

Решение

Нормализуем игру:

Равновесия: NE = {(a; mk), (d; mz), (b; nk), (d; nz)}.

При заданных верах p и v выясним предпочтения ходов второго игрока (рис. 6.15):

^[2][3]

Поскольку второе (правое) информационное множество находится вне траектории равновесия, то формулы Байеса для определения веры неприемлемы. Ход k предпочтительнее хода 2 при условии v>0,75.

Следовательно, ((«; mk) р = 1; v е [0,75; 1]} — слабое секвенциальное равновесие.

2. Рассмотрим второе равновесие (d;mz). При выборе первым игроком стратегии d для второго имеем гп > п при условии р > 0,4. Вера v второго игрока в его расположении в правом информационном множестве должна быть согласована со стратегией первого игрока d. Значит, l-v = lv = 0. Но тогда z>k.

Следовательно, {(^;mz);pe[0,4;l]; v = 0} — слабое секвенциальное равновесие.

3. Рассмотрим третье равновесие (b, nk). При выборе первым игроком стратегии b для второго игрока имеем р = 0. При этом т<�п.

Ход k предпочтительнее хода z при условии v>0,75 (правое информационное множество расположено вне траектории равновесия).

Следовательно, {(/>;nk);р = 0; vе[0,75; 11} — слабое секвенциальное равновесие.

4. Рассмотрим четвертое равновесие (<7; nz). Для него аналогично получим: {(d;"z);pe[0;0,4|; v = 0} — слабое секвенциальное равновесие.

Пример 6.10. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.16 (N — Природа).

Рис. 6.16.

Решение

Нормализуем игру. У каждого игрока по две стратегии: а, b и с, d. Рассмотрим все исходы.

Заполняем матрицу:

Имеем два равновесия Нэша: (a, d) и (Ь;с).

Поскольку информационные множества находятся на траекториях равновесия, то веры рассчитываем по формулам Байеса.

При исходе (a; d) первый игрок видит, что в момент его хода в двухточечном информационном множестве он (в соответствии со стратегией d второго игрока) может оказаться только при типе t_x. Следовательно, он достоверно знает, что находится в верхней точке информационного множества, т. е. р =1. При этой вере получим а >- b (1 > -2). Аналогичные рассуждения для второго игрока дают l-v = lv = 0. При этой вере получим d >? с (8 > 2). Таким образом, имеем первое слабое секвенциальное равновесие: {(a; d); р = 1; v = 0}.

При исходе (b; с) первый игрок видит, что в момент его хода в двухточечном информационном множестве он (в соответствии со стратегией с второго игрока) может оказаться при обоих типах t и ?2- Следовательно, Нетрудно убедиться, что при таком значении р получим b У а. Аналогичные рассуждения для второго игрока дают Таким образом, имеем второе слабое секвенциальное равновесие:

Решим игру другим способом.

У каждого игрока по две чистые стратегии.

Найдем все слабые секвенциальные равновесия, при которых второй игрок выберет стратегию с. Оценим действия первого игрока. Его вера.

. Тогда

При выборе первым игроком стратегии b оценим действия второго игрока. Его вера . Тогда.

Таким образом, имеем слабое секвенциальное равновесие

Найдем все слабые секвенциальные равновесия, при которых второй игрок выберет стратегию (1. Оценим действия первого игрока. Его вера ц = 1. Тогда a> (1 > -2).

При выборе первым игроком стратегии а оценим действия второго игрока. Его вера v = 0. Тогда d >? с (8 > 2).

Таким образом, имеем слабое секвенциальное равновесие {(а; Л) р = 1; v = 0}.

Пример 6.11. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.17.

Нормализуем игру:

В игре единственное равновесие Нэша (a; d). Определим веры, согласованные с данными стратегиями. Вера второго игрока v = 0. При такой вере действительно d>c (2 > 1). Вера первого игрока определяется по формуле Байеса: . Нетрудно проверить, что при этой вере аУЬ.

Ответ:

Возможно и другое решение — без нормализации игры.

Предположим, что существует равновесие вида (а,…), т. е. равновесие, в котором первый игрок выбирает стратегию а. Поскольку при стратегии а первого игрока достижение информационного множества второго игрока возможно только при типе ?₃, то вера второго игрока v = 0. При этом dye (2 > 1). Следовательно, наилучшим ответом второго игрока на стратегию а первого игрока является d.

Если второй игрок выбирает стратегию d, то рассмотрим оптимальный ответ первого при вере определяемой по формуле Байеса:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Следовательно, — слабое секвенциальное равновесие.

Предположим теперь, что существует равновесие вида (b,…), т. е. равновесие, в котором первый игрок выбирает стратегию Ь. Тогда вера второго 2.

игрока равна v = - (по формуле Байеса). При этой вере c>d (проверьте). 5.

Следовательно, наилучшим ответом второго игрока на стратегию b первого игрока является с.

Если второй игрок выбирает стратегию с, то наилучшим ответом первого игрока при вере определяемой по формуле Байеса, является а,

что противоречит исходной предпосылке.

Пример 6.12. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.18.

Рис. 6.18

Решение

Нормализуем игру:

Получили три равновесия: (a; d), (b; с), (b; d). Зададим согласованные с ними веры:

При вере v = 0,25 стратегии с и d второго игрока эквивалентны.

Решим игру без ее нормализации.

Пусть первый игрок выбрал стратегию а. Тогда вера второго игрока v = О и наилучшим его ответом является d. Если второй игрок выбирает d, то для первого игрока при вере р = 0,5 стратегии а и Ь эквивалентны. Следовательно, {(a; d); р = 0,5; v = 0} — слабое секвенциальное равновесие.

Пусть первый игрок выбрал стратегию Ь. Тогда вера второго игрока v = 0,25, и его стратегии с и d эквивалентны. Если второй игрок выбирает </, то для первого игрока при воре р = 0,5 стратегии а неэквивалентны. Получим, что {(А; с); р = 0,5; v = 0,25}, {(b; d) р = 0,5; v = 0,25} — слабые секвенциальные равновесия.

Пример 6.13. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.19.

Рис. 6.19.

Решение

Нормализуем игру:

Равновесия Нэша: (ап; с), (an; d). Выясним, при каких верах они составляют слабое секвенциальное равновесие.

По формулам Байеса . Информационное множество второго игрока оказывается вне траектории равновесия. Выясним его выигрыши при ходах end:

Следовательно, — слабые секвенциальные равновесия.

Решим игру без нормализации.

Очевидно, , Пусть второй игрок играет с. Оценим выигрыши первого игрока:

Кроме того, п >т (4 > 3). Следовательно, наилучшим ответом на стратегию с является стратегия ап: с => ап.

Но если первый игрок выбирает ап, то информационное множество второго игрока оказывается вне траектории равновесия. Оценим ходы второго игрока:

Следовательно, — слабое секвенциальное равновесие.

Пусть второй игрок играет d. Оценим выигрыши первого игрока:

Кроме того, п>т (4 > 0).

Следовательно, наилучшим ответом на стратегию d является стратегия an: d => ап.

Но если первый игрок выбирает ап, то информационное множество второго игрока оказывается вне траектории равновесия. Оценка ходов второго игрока дает

Следовательно, — слабое секвенциальное равновесие.

Пример 6.14. Найти все слабые секвенциальные равновесия в последовательной игре на рис. 6.20.

Рис. 6.20.

Решение

Стратегии игроков: первого — а, Ь, п; второго — хс, xd, ус, yd.

Очевидно, у>х. Поэтому не существует равновесных исходов, при которых второй игрок выбирает стратегии хс или xd.

1. Пусть второй игрок выбирает стратегию ус. Оценим действия первого игрока:

Отсюда следует, что Ь~п>а.

При стратегии b первого игрока имеем р = 0 и c>d.

Следовательно, {(b; ус); р = 0} — слабое секвенциальное равновесие.

При стратегии п первого игрока информационное множество оказывается вне траектории равновесия. Оценим действия второго игрока:

Следовательно, {(и; ус); р е [0; 0,6]} — слабое секвенциальное равновесие.

2. Пусть второй игрок выбирает стратегию yd. Оценим действия первого игрока:

При стратегии b первого игрока имеем р = 0 и c>d, что противоречит исходным предпосылкам.

При стратегии п первого игрока информационное множество оказывается вне траектории равновесия. Оценим действия второго игрока:

Следовательно, {(п; yd); ц е [0,6; 1]} — слабое секвенциальное равновесие. Пример 6.15. Найти все слабые секвенциальные равновесия в последовательной игре на рис. 6.21.

Рис. 621.

Решение

Очевидно, у >~х (3 > 2). Поэтому не существует равновесных исходов, при которых первый игрок выбирает стратегии ха или xb.

1. Пусть второй игрок выбирает стратегию с. Оценим действия первого игрока (сравним уа и yb): а > b (4 > 3). Стратегия уа является наилучшим ответом первого игрока на стратегию с второго игрока.

Пусть теперь первый игрок выбирает стратегию у а. Тогда веры второго игрока равны Оценим его действия:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Следовательно, — слабое секвенциальное равновесие.

2. Пусть второй игрок выбирает стратегию d. Оценим действия первого игрока: Ь>а (3 > 2). Стратегия yb является наилучшим ответом первого игрока на стратегию d второго игрока.

Пусть теперь первый игрок выбирает стратегию yb. Тогда р_:, =0. Веры второго игрока, согласованные с его стратегией yb, равны ц (0,4;0,6;0). Оценим действия второго игрока:

что не противоречит исходным предпосылкам.

Следовательно, {(г/6;с/):р (0,4;0,б;0)} — слабое секвенциальное равновесие. Пример 6.16. Найти все слабые секвенциальные равновесия в последовательной игре на рис. 6.22.

Рис. 6.22.

Решение

1. Пусть второй игрок выбирает стратегию с. Оценим действия первого игрока: а >- b (4 > 3). Стратегия а является наилучшим ответом первого игрока на стратегию с второго игрока.

Пусть теперь первый игрок выбирает стратегию а. Тогда веры второго игрока равны р =(0,2; 0,3; 0,5). Оценим его действия:

Следовательно, {(а; с); р = (0,2; 0,3; 0,5)} — слабое секвенциальное равновесие.

2. Пусть второй игрок выбирает стратегию d. Оценим действия первого игрока: Ьу, а (3 > 2). Стратегия b является наилучшим ответом первого игрока на стратегию d второго игрока.

Пусть теперь первый игрок выбирает стратегию Ь. Тогда р₃ =0. Веры второго игрока равны: р = (0,4; 0,6; 0). Оценим действия второго игрока:

что не противоречит исходным предпосылкам.

Следовательно, {(6;rf);p = (0,4;0,6;0)} — слабое секвенциальное равновесие.

Пример 6.17. Найти все слабые секвенциальные равновесия в последовательной игре на рис. 6.23.

Рис. 6.23.

Решение

Стратегии игроков: первого — ае, af, be, Ъ/ второго — cm, сп, dm, dn. Очевидно, f у e (4 > 3). Веры первого игрока определяются по формулам Байеса:

1. Пусть второй игрок играет cm. Оценим действия первого игрока:

Если первый игрок играет Ь, то а₂ = 1 и пут, что противоречит исходным предпосылкам. Отсюда следует, что нс существует слабого секвенциального равновесия, при котором второй игрок выбирает стратегию cm.

2. Пусть второй игрок играет сп. Оценим действия первого игрока:

Если первый игрок играет а, то a_t = 1 и тУп, что противоречит исходным предпосылкам. Отсюда следует, что не существует слабого секвенциального равновесия, при котором второй игрок выбирает стратегию сп.

3. Пусть второй игрок играет dm. Оценим действия первого игрока:

Наилучшим ответом на стратегию dm является af. Но если первый игрок играет а, то a_t = 1 и т У п, что не противоречит исходным предпосылкам.

Кроме того, V = (0,4; 0; 0,6; 0) и что также не противоречит исходным предпосылкам.

Отсюда следует, что

слабое секвенциальное равновесие.

4. Пусть второй игрок играет dn. Оценим действия первого игрока:

Наилучшим ответом на стратегию dn является af. Но если первый игрок выбирает а, то а, =1 и туп, что противоречит исходным предпосылкам.

Пример 6.18. Найти все слабые секвенциальные равновесия в последовательной игре на рис. 6.24.

Рис. 6.24.

Решение

Стратегии игроков: первого — ае, af, be, bf; второго — cm, сп, dm, dn. Очевидно, / >e. Веры первого игрока определяются по формулам Байеса:

1. Пусть второй игрок играет cm. Оценим действия первого игрока:

Если первый игрок играет Ь, то а₂ = 1 и п >- т (3 > 0), что противоречит исходным предпосылкам. Отсюда следует, что не существует слабого секвенциального равновесия, при котором второй игрок выбирает стратегию cm.

2. Пусть второй игрок играет сп. Оценим действия первого игрока:

Если первый игрок играет Ь, то а₂ ⁼ 1 ^{и п} >" ^т (3 > 0), что не противоречит исходным предпосылкам. Далее, для профиля стратегий (сп; bf) имеем v = (0; 0,4; 0; 0,6). Оценим действия второго игрока:

что противоречит исходным предпосылкам.

Отсюда следует, что не существует слабого секвенциального равновесия, при котором второй игрок выбирает стратегию сп.

3. Пусть второй игрок играет dm. Оценим действия первого игрока:

Наилучшим ответом на стратегию dm является bf. Но если первый игрок играет Ь, то ос₂ = 1 и пУт, что противоречит исходным предпосылкам. Отсюда следует, что не существует слабого секвенциального равновесия, при котором второй игрок выбирает стратегию dm.

4. Пусть второй игрок играет dn. Оценим действия первого игрока:

Наилучшим ответом на стратегию dn является стратегия bf. Но если первый игрок играет Ь, то а₂ = 1 и (3> 0), что не противоречит исходным предпосылкам. Оценим действия второго игрока. Его веры определим по формулам Байеса: v = (0;0,4; 0;0,6), а = (0; 1). Имеем.

что также не противоречит исходным предпосылкам. Кроме того, при а₂ = 1 имеем пУт. Отсюда следует, что.

секвенциальное равновесие.

Пример 6.19. Найти все слабые секвенциальные равновесия в последовательной игре на рис. 6.25.

Рис. 6.25.

Решение

Стратегии игроков: первого — ас, ad, be, bd; второго — хт, хп, ут, уп.

Веры Pj =р₂ =0,5 определяются по формулам Байеса.

1. Пусть второй игрок играет хт. Оценим действия первого игрока:

Но если первый игрок играет Ъ, то v₂ =1 и у Ух (3 > 1), что противоречит исходным предпосылкам. Отсюда следует, что не существует слабого секвенциального равновесия, при котором второй игрок выбирает стратегию хт.

2. Пусть второй игрок играет хп. Оценим действия первого игрока:

Но если первый игрок играет Ь, то v₂ =1 и уух (3 > 1), что противоречит исходным предпосылкам. Отсюда следует, что не существует слабого секвенциального равновесия, при котором второй игрок выбирает стратегию хп.

3. Пусть второй игрок играет ут. Оценим действия первого игрока:

Но если первый игрок играет Ь, то v₂ = 1 и у у х (3 > 1), что не противоречит исходным предпосылкам. Далее, оценим действия первого игрока после хода природы ?₃. Поскольку Ъ © = 3, (/, (d) = 4 => dye. Следовательно, стратегия bd является наилучшим ответом первого игрока на стратегию ут второго игрока. При профиле стратегий (bd; ут) веры определяются по формулам Байеса: а = (0,25; 0; 0,75). Оценим действия второго игрока:

что противоречит исходным предпосылкам.

Отсюда следует, что не существует слабого секвенциального равновесия, при котором второй игрок выбирает стратегию ут.

4. Пусть второй игрок играет уп. Оценим действия первого игрока:

Но если первый игрок играет Ь, то v₂ = 1 и уУх (3 > 1), что не противоречит исходным предпосылкам. Далее, оценим действия первого игрока после хода природы ?₃. Поскольку U_x © = 2, U_x (d) = 0 => с У d. Следовательно, стратегия be является наилучшим ответом первого игрока на стратегию уп

второго игрока. При профиле стратегий (be, уп) веры определяются, но формулам Байеса: а =(0,25;0,75;0). Оценим действия второго игрока:

что не противоречит исходным предпосылкам.

Отсюда следует, что {(6с, г/я);р = (0,5;0,5);у = (0;1;0);а = (0,25;0,75;0)} - слабое секвенциальное равновесие.

Пример 6.20. Найти все слабые секвенциальные равновесия в последовательной игре на рис. 6.26.

Рис. 6.26.

Решение

1. Пусть второй игрок играет хс. Оценим действия первого игрока:

Следовательно, наилучшим ответом первого игрока на стратегию хс является стратегия а. С профилем стратегий (а; хс) согласуется вера р = 1. И тогда действительно х >- у (2 > 1). Поскольку правое информационное множество находится вне траектории (а хс), то следует выяснить, при каких значениях v выполняется неравенство U₂(c)>U₂(d). Имеем:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Следовательно, — слабое секвенциальное равновесие.

2. Пусть второй игрок играет xd. Оценим действия первого игрока:

Следовательно, наилучшим ответом первого игрока на стратегию xdявляется стратегия а. Как и в первом пункте, с профилем стратегий (a; xd) согласуется вера р = 1. И тогда действительно х > у (2 > 1). По-прежнему правое информационное множество находится вне траектории (a; xd), и следует выяснить, при каких значениях v выполняется неравенство U₂© < U₂(d).

Имеем:

Следовательно, — слабое секвенциальное равновесие.

3. Пусть второй игрок играет ус. Оценим действия первого игрока:

Следовательно, наилучшим ответом первого игрока на стратегию ус является стратегия b. С профилем стратегий (Ь; ус) согласуется вера ц = 0. И тогда стратегии х и у равносильны. Правое информационное множество находится на траектории (б; ус), и . Оценим действия второго игрока при такой вере:

Отсюда следует, что с > d и {(/;; ус) ц = 0; v = 0,6} — слабое секвенциальное равновесие.

4. Пусть второй игрок играет yd. Оценим действия первого игрока:

Следовательно, наилучшим ответом первого игрока на стратегию yd является стратегия b. С профилем стратегий (b; yd) согласуется вера ц = 0. И тогда стратегии х и у равносильны. Правое информационное множество находится на траектории (b; yd), и

Но, как мы выяснили в п. 3, при такой вере c>d, что противоречит исходной предпосылке.

Ответ:

Задания для самостоятельной работы

60. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.27.

Рис. 6.27.

61. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.28.

Рис. 6.28.

62. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.29.

Рис. 6.29.

63. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.30.

Рис, 630.

64. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.31.

Рис, 631.

65. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.32.

Рис. 632.

66. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.33.

Рис. 633.

67. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.34.

Рис. 634.

68. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.35.

Рис. 6.35.

69. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.36.

Рис. 6.36.

70. Найти все слабые секвенциальные равновесия в игре на рис. 6.37.

Рис. 6.37.

• [1] Найдем все слабые секвенциальные равновесия в первой колонке (второй игрок выбирает стратегию xz). При типе t первый игрок выбирает между ходом, а (выигрыш равен 2) и ходом b (выигрыш равен 1). Очевидно, он выбирает а. При типе t'2 первый игрок выбирает между ходом с (выигрыш равен 4) и ходом d (выигрыш равен 3). Очевидно, он выбирает с. При типе С первый игрок выбирает между ходом е (выигрыш равен 2) и ходом / (выигрыш равен 3). Очевидно, он выбирает /. Следовательно, оптимальным ответом на стратегию xz второго игрокаявляется стратегия acf первого игрока: xz => acf. Пусть теперь первый игрок выбрал стратегию acf. Тогда ц, = ц2 = 0,5; ц3 = 0; vt = v2 = 0; v3 = 1. Оценим выигрыши второго игрока: что противоречит исходным предпосылкам. 2. Найдем все слабые секвенциальные равновесия во второй колонке (второй игрок выбирает стратегию xt).
• [2] Рис. 6.15
• [3] Рассмотрим первое равновесие (a;mk). При выборе первым игрокомстратегии, а для второго имеем т>п при условии р>0,4. В равновесии (a; mk) первое (левое) информационное множество второго игрока достижимо, поэтому вычисляем р по формуле условной вероятности: что удовлетворяет полученному условию р > 0,4.