Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формуле.

.

По определению Неравенство можно записать в виде двойного неравенства, следовательно, Полагая в формуле.

.

Имеем.

или.

Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения и обратно, по известной функции распределения может быть найдена плотность распределения по формуле.

.

Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Построить график найденной функции.

Решение. Воспользуемся формулой Если, то по условию, следовательно,.

Если то по условию, следовательно,.

Если то.

Получили искомую функцию распределения.

Свойства плотности распределения

1) Плотность распределения — неотрицательная функция:

Доказательство. Функция распределения неубывающая функция, следовательно, ее производная — неотрицательная.

График плотности распределения расположен либо над осью, либо на этой оси и ее называют кривой распределения.

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от до равен единице:

Доказательство. Несобственный интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу. Такое событие достоверно и вероятность его равна единице.

Геометрически это означает, что вся площадь, ограниченная осью и кривой распределения, равна единице.

В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу, то.