Линейные уравнения. 
Решение дифференциальных уравнений

Линейным уравнением первого порядка называют уравнения.

где a(t), b(t) — заданные функции переменной t. Предположим, что функции a(t) и b(t) определены и непрерывны на некотором интервале r₁ < t < r₂ (возможно, чтоr₁ = ??, r₂ = +? одновременно или выполнено одно из этих соотношений). Таким образом, открытое множество D, на котором задана правая часть уравнения (1.20) представляет собой полосу r₁ < t < r₂ на плоскости (t, x), если r₁ и r₂ конечны; полуплоскость, если конечна только одна из величин r₁, r₂ и плоскость, если бесконечны обе величины r₁, r₂. Правая часть уравнения (1.20) непрерывна вместе со своей частной производной по x на всем множестве D и поэтому удовлетворяет (по x) условию Липшица. Итак, для уравнения (1.20) условия теоремы выполнены.

Пусть t₀ — некоторая точка интервала (r₁, r₂). Положим.

Функция A(t), очевидно, определена на интервале r₁ < t < r₂. Докажем, что совокупность всех решений уравнения (1.20) задается формулой.

где x₀ — произвольная константа. Для вывода формулы (1.22) рассмотрим сначала однородное уравнение, соответствующее (1.20), т. е. уравнение.

Это уравнение в полных дифференциалах. В самом деле, символически его можно записать в виде.

Соответствующая функция F(t, x) легко вычисляется:

где A(t) определена по формуле (1.21). В таком случае, согласно вышесказанному, решения уравнения (1.23) определяются как неявные функции из соотношения Отсюда находим или где C может принимать любые действительные значения.

Для получения с помощью формулы (1.24) решения неоднородного уравнения (1.20) применяется так называемый метод вариации постоянной.То есть решение уравнения (1.20) ищется в виде (1.24), но C уже не константа, а некоторая неизвестная функция переменного t. Подставляя выражение в уравнение (1.20), получим:

или, что-то же.

Отсюда находим.

где x₀ — константа интегрирования. На основании (1.25), (1.26) получаем формулу (1.22).

Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным. К таким уравнениям относится так называемое уравнение Бернулли, имеющее вид.

Это уравнение заменой переменной сводится к линейному. Действительно, так как.

то произведя подстановку, получим линейное уравнение.

Рассмотрим уравнение Риккати:

Это уравнение в общем виде квадратурой не интегрируется, но может быть заменой переменных сведено к уравнению Бернулли, если известно одно частное решение этого уравнения. Действительно, если x₁ = x₁(t) — известное частное решение, то полагая Получим.

Так как.

то приходим к уравнению Бернулли.