Стационарно связанные случайные функции

Стационарно связанными называют две случайные функции X (t) и Y (t), если их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов т = t₂ -t_x:

Взаимная корреляционная функция стационарно связанных случайных функций обладает следующим свойством:

Это равенство следует из свойства 1 взаимной корреляционной функции (при одновременной перестановке индексов и аргументов взаимная корреляционная функция не изменяется):

Геометрически свойство можно истолковать так: график кривой г _v(—т) симметричен графику кривой г^(т) относительно оси ординат.

Заметим, что если каждая из двух случайных функций стационарна, то отсюда еще нельзя заключить, что их взаимная корреляционная функция зависит только от разности аргументов.

Стационарными и стационарно связанными называют две стационарные случайные функции X (t) и Y (t), взаимная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов.

X=t₂~ ty

Пример. Заданы две стационарные случайные функции X (t) = cos (t + ф) и Y (t) = sin (t + ф), где ф — случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2я). Доказать, что заданные стационарные функции стационарно связаны.

Решение. Ранее было найдено, что m_v(t) = 0 (см. § 1, пример); аналогично можно получить, что т (t) = 0. Запишем центрированные функции:

Найдем взаимную корреляционную функцию:

Легко убедиться, что математическое ожидание второго слагаемого равно нулю (см. § 1, пример), поэтому.

Итак, взаимная корреляционная функция заданных стационарных случайных функций зависит только от разности аргументов; следовательно, эти функции стационарно связаны.