Условные математические ожидания

В этом параграфе будут рассмотрены некоторые числовые характеристики, которые описывают наиболее существенные особенности условных законов распределения.

Пусть (%!, ?₂) ^— дискретный случайный вектор, возможные значения которого (*,-, Xj), ij =1,2,и пусть.

Условное распределение случайной величины ^ при условии, что %2 ⁼ У'}

Условным математическим ожиданием случайной величины ^ при условии, что^{2 =} Ур называется величина.

Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины² при условии, что ^ = X;

Имеет место следующая формула полного математического ожидания:

Условное математическое ожидание М (?j|^₂) рассматривается как функция от случайной величины ₂- Докажем равенство (3.38). По определению математического ожидания имеем.

Пусть теперь (?_lf ^₂) ^— непрерывный случайный вектор, плотность распределения которого f (x, y), и пусть f (x₂⁼У) ~ условная плотность распределения случайной величины ^ при условии, что ^₂ ⁼ У•.

Условным математическим ожиданием случайной величины ^ при условии, что ⁼ У у называется величина.

Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины² при условии, что х

где Л₂(г/|^1 = х) — условная плотность распределения случайной величины ^ при условии, что ^ = х. Справедлива следующая формула, аналогичная (3.37),.

В самом деле,.

Можно показать, что условное математическое ожидание обладает следующими свойствами:

• 1) М ($, + Уп) = м (у п) + л/(^₂1л);
• 2) Если случайные величины ^ и независимы, то

Условной дисперсией случайной величины ^ при условии, что ^₂ ⁼ У> называется величина.

Подобным образом можно ввести условные моменты более высоких порядков.

Условное математическое ожидание М (^|^₂ ⁼ У) можно рассматривать как функцию от у, область определения которой есть множество возможных значений случайной величины %2- Эта функция т^(у) = М (^|^₂ ⁼ У) называется функцией регрессии ^ на ?₂;

Аналогично определяется функция регрессии ^на

щ₂(у) = -х).

Пример 3.8. Найдем условные законы нормального распределения на плоскости. В примере 2.42 были найдены условные плотности распределения

и Мы видим, что (3.38) и (3.39) представляют собой плотности нормального распределения с математическими ожиданиями.

Таким образом функции регрессии на ₂ и на будут прямыми линиями.

с угловыми коэффициентами гсц/с^ и / 02/01, которые называются коэффициентами линейной регрессии на ₂ и ₂ на с,₍. Здесь.

Отметим, что функции регрессии (3.40) проходят через точку с координатами (a_t, а₂).

Свойство 3.17. Если одна из функций регрессии равна константе, то

Доказательство. Предположим, что М{Ъ,2I ?, 1 = х) = с, тогда отсюда

Интегрируя обе части, но х, получим.

используя последнее равенство, находим.

Говорят, что случайный вектор (^, %₂) имеет линейную регрессию на ?₂, ^если

где Лий — константы.

Аналогично говорят, что случайный вектор (?₂, с₍) имеет линейную регрессию ^₂ на если

где С и D — константы.

Если выполняется (3.41) и (3.42), то говорят, что случайный вектор имеет линейную регрессию. Числа Л и С называют коэффициентами регрессии ^ на ^₂, соответственно,² на^.

Свойство ЗЛ8. Если (?,_и ?₂) имеет линейную регрессию $ 1 на то.

где оi = ст₂² = D^.

Доказательство. Умножая (3.41) на f*₂(y) и интегрируя по г/, получим Аналогично, умножая (3.41) на у/*₂(у) и интегрируя, имеем откуда получаем

Решая уравнения (3.43) и (3.44) относительно, А и В, находим, что.