Π”ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌΡ‹, курсовыС, Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅...
Брочная ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² ΡƒΡ‡Ρ‘Π±Π΅

УсловныС матСматичСскиС оТидания

Π Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

Π‘ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами гсц/с^ ΠΈ / 02/01, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ коэффициСнтами Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ рСгрСссии Π½Π° 2 ΠΈ 2 Π½Π° с,(. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ. И ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ (3.38) ΠΈ (3.39) ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой плотности Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ распрСдСлСния с ΠΌΠ°Ρ‚СматичСскими оТиданиями. Аналогично опрСдСляСтся условноС матСматичСскоС ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹2 ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ^ = X; Условным матСматичСским ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ^ ΠΏΡ€ΠΈ… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

УсловныС матСматичСскиС оТидания (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ рассмотрСны Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ числовыС характСристики, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ сущСствСнныС особСнности условных Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² распрСдСлСния.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ (%!, ?2) дискрСтный случайный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ (*,-, Xj), ij =1,2,ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

УсловноС распрСдСлСниС случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ^ ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ %2 = Π£'}

Условным матСматичСским ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ^ ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ^2 = Π£Ρ€ называСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°.

Условным матСматичСским ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ^ ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ2 = Π£Ρ€ называСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

Аналогично опрСдСляСтся условноС матСматичСскоС ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹2 ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ^ = X;

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ матСматичСского оТидания:

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

УсловноС матСматичСскоС ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ М (?j|^2) рассматриваСтся ΠΊΠ°ΠΊ функция ΠΎΡ‚ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ 2- Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ равСнство (3.38). По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ матСматичСского оТидания ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ (?lf ^2) Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΉ случайный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ распрСдСлСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ f (x, y), ΠΈ ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ f (x2=Π£) ~ условная ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ распрСдСлСния случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ^ ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ^2 = Π£β€’.

Условным матСматичСским ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ^ ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ = Π£ Ρƒ называСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

Аналогично опрСдСляСтся условноС матСматичСскоС ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹2 ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ…

Π³Π΄Π΅ Π›2(Π³/|^1 = Ρ…) — условная ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ распрСдСлСния случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ^ ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ^ = Ρ…. Π‘ΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, аналогичная (3.37),.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

Π’ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ Π΄Π΅Π»Π΅,.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

МоТно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ условноС матСматичСскоС ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ свойствами:

  • 1) М ($, + Π£ΠΏ) = ΠΌ (Ρƒ ΠΏ) + Π»/(^21Π»);
  • 2) Если случайныС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ^ ΠΈ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΡ‹, Ρ‚ΠΎ
УсловныС матСматичСскиС оТидания.

Условной диспСрсиСй случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ^ ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ^2 = Π£> называСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ввСсти условныС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких порядков.

УсловноС матСматичСскоС ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π½ΠΈΠ΅ М (^|^2 = Π£) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚ Ρƒ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ случайной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ %2- Π­Ρ‚Π° функция Ρ‚^(Ρƒ) = М (^|^2 = Π£) называСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ рСгрСссии ^ Π½Π° ?2;

Аналогично опрСдСляСтся функция рСгрСссии Π½Π°

Ρ‰2(Ρƒ) = -Ρ…).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3.8. НайдСм условныС Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ распрСдСлСния Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΠΈ. Π’ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 2.42 Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Ρ‹ условныС плотности распрСдСлСния

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

ΠΈ ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ (3.38) ΠΈ (3.39) ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой плотности Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ распрСдСлСния с ΠΌΠ°Ρ‚СматичСскими оТиданиями.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ рСгрСссии Π½Π° 2 ΠΈ Π½Π° Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ прямыми линиями.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами гсц/с^ ΠΈ / 02/01, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ коэффициСнтами Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ рСгрСссии Π½Π° 2 ΠΈ 2 Π½Π° с,(. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ рСгрСссии (3.40) проходят Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ (at, Π°2).

Бвойство 3.17. Если ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ рСгрСссии Ρ€Π°Π²Π½Π° константС, Ρ‚ΠΎ УсловныС матСматичСскиС оТидания.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ М{Πͺ,2I ?, 1 = Ρ…) = с, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° УсловныС матСматичСскиС оТидания. ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° УсловныС матСматичСскиС оТидания.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΡ ΠΎΠ±Π΅ части, Π½ΠΎ Ρ…, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ послСднСС равСнство, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ случайный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (^, %2) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Ρ€Π΅Π³Ρ€Π΅ΡΡΠΈΡŽ Π½Π° ?2, Ссли

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

Π³Π΄Π΅ Π›ΠΈΠΉ — константы.

Аналогично говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ случайный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (?2, с() ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Ρ€Π΅Π³Ρ€Π΅ΡΡΠΈΡŽ ^2 Π½Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ УсловныС матСматичСскиС оТидания.

Π³Π΄Π΅ Π‘ ΠΈ D — константы.

Если выполняСтся (3.41) ΠΈ (3.42), Ρ‚ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΡΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ случайный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Ρ€Π΅Π³Ρ€Π΅ΡΡΠΈΡŽ. Числа Π› ΠΈ Π‘ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ коэффициСнтами рСгрСссии ^ Π½Π° ^2, соотвСтствСнно,2 Π½Π°^.

Бвойство Π—Π›8. Если (?,ΠΈ ?2) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡƒΡŽ Ρ€Π΅Π³Ρ€Π΅ΡΡΠΈΡŽ $ 1 Π½Π° Ρ‚ΠΎ.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

Π³Π΄Π΅ ΠΎi = ст22 = D^.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ. УмноТая (3.41) Π½Π° f*2(y) ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Сгрируя ΠΏΠΎ Π³/, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Аналогично, умноТая (3.41) Π½Π° Ρƒ/*2(Ρƒ) ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Сгрируя, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ УсловныС матСматичСскиС оТидания. ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ УсловныС матСматичСскиС оТидания.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.

РСшая уравнСния (3.43) ΠΈ (3.44) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, А ΠΈ Π’, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ.

УсловныС матСматичСскиС оТидания.
ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ