Теорема о взаимности удельных перемещений (теорема Максвелла)

Пусть в первой группе сил действует одна сила — Рi, во второй — одна сила Рj, тогда согласно теореме Бетти:

А/i j = A/j i ,.

.

Используя принцип пропорциональности:

.

.

где — удельное перемещение точки приложения силы Рi по ее направлению от действия силы Рj = 1;

— удельное перемещение точки приложения силы Рj по ее направлению от действия силы Рi = 1. Тогда из теоремы Бетти.

Рj Рi = Рj Рi .

После сокращений будем иметь.

= .

Теорема Максвелла: удельное перемещение точки приложения силы Рi по ее направлению от силы Рj = 1 равно удельному перемещению точки приложения силы Рj по ее направлению от действия силы Рi = 1.

Теорема о взаимности удельных реакций (первая теорема Рэлея)

Рассмотрим упругую систему в двух состояниях. В первом случае кинематическим воздействием является единичный угол поворота связи i (рис. 1.3 а), во втором — единичное линейное смещение связи j (рис. 1.3 б).

Примем силы первого состояния за первую группу сил, а силы второго состояния за вторую группу. Тогда, на основании теоремы Бетти:

.

.

Получили теорему о взаимности удельных реакций:

удельная реакция связи «i», вызванная единичным смещением связи «j», равна удельной реакций связи «j», вызванной единичным смещением связи «i» .

Теорема о взаимности удельных реакций и удельных перемещений (вторая теорема Рэлея)

Рассмотрим упругую систему при статическом и кинематическом воздействиях.

В первом состоянии кинематическим воздействием является единичный угол поворота связи «i» (рис. 1.4 а), во втором состоянии статическим воздействием является единичная сила Рj = 1. По теореме Бетти.

.

Получим теорему о взаимности удельных реакций и удельных перемещений:

.

Удельная реакция связи «i», вызванная единичной силой Рj = 1, равна с обратным знаком удельному перемещению точки приложения силы Рj, вызванному единичным смещением связи «i» .