Оптико-механическая аналогия. 
Теоретическая механика

Принцип наименьшего действия в форме Якоби и принцип Ферма в оптике позволяют установить аналогию между траекториями материальной точки, движущейся в консервативном поле, и световыми лучами, распространяющимися в неоднородной изотропной среде.

Сформулируем принцип Ферма. Пусть свет распространяется в трехмерном евклидовом пространстве. Физическая среда предполагается изотропной и неоднородной, т. е. скорость света в каждой точке пространства не зависит от направления светового луча, но различна в разных точках пространства. Рассмотрим две точки Aq, А, гладкую кривую р, их соединяющую, и функционал.

где я (г) — коэффициент преломления, с, о (г) — скорости света в вакууме и в среде, г — радиус-вектор точки, ds = (dx,² + dx₂² + + dx²)^i/2 — евклидова метрика. Криволинейный интеграл (5.1), вычисленный вдоль р, называется длиной оптического пути, а величина с" 'ЦР1 определяет время распространения света от точки Aq до точки А_х. Принцип Ферма утверждает, что свет распространяется от точки Aq до точки А, за кратчайшее время или истинный оптический путь р₀ кратчайший, т. е. б1[Ро1 = 0.

Теперь обратимся к задаче о движении свободной материальной точки в трехмерном пространстве под действием консервативных сил с потенциалом И (г). Действительная траектория, соединяющая две точки А_с и А, может быть найдена как экстремаль функционала «укороченное» действие, записанного в форме Якоби:

Здесь И — постоянная энергии. Если положить л (г) = (А — ^(г)), то функционал «укороченное» действие совпадает с функционалом (5.1) и, следовательно, истинный оптический путь окажется действительной траекторией материальной точки единичной массы. В этом и состоит оптико-механическая аналогия, проиллюстрированная в таблице.

П. Коэффициент преломления света в атмосфере Земли можно аппроксимировать соотношением.

где z — высота над поверхностью Земли, к — постоянная. Выберем систему координат с началом на поверхности Земли так, чтобы начальная точка светового луча лежала на оси Oz. Согласно оптико-механической аналогии материальная точка единичной массы должна двигаться в потенциальном поле с потенциалом.

Заметим, что kz « 1 в диапазоне рассматриваемых высот и можно принять.

Уравнения движения точки представляются в форме где е_г — орт оси Oz. Тогда закон движения точки.

соответствует движению точки в однородном поле силы тяжести, а ее траектория — парабола с вертикальной осью. Следовательно, все световые лучи в атмосфере Земли представляются параболами с вертикальными осями.