Однократное измерение. 
Обработка серий измерений

При однократном измерении физической величины получено показание средства измерения X = 10. Определить, чему равно значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает следующей априорной информацией: вид закона распределения — нормальный; Значение оценки среднего квадратического отклонения S_x=0,1; доверительная вероятность Р = 0,95; значение мультипликативной поправки составляет.

Решение.

Границы, в которых находится значение измеряемой величины без учета поправки, определяются следующим образом:

где E — доверительный интервал. Значение E при при нормальном законе распределения определяется по формуле:

.

где t, для заданной доверительной вероятности Р выбирается из таблиц интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) (приложение Б /5/) при этом следует учитывать, что Р = 2Ф (t).

С учетом заданной доверительной вероятности t = 1,96.

Границы, в которых лежит измеряемая величина без учета мультипликативной поправки, будут:

С учетом мультипликативной поправки, значение измеряемой величины лежит в пределах:

Многократное измерение

При многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24 результатов измерений Q_i, i [1…24]. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице 1. Определить результат измерения с доверительной вероятностью P = 0,95.

Таблица 1 Исходные данные.

Решение.

1) Определяем точечные оценки результатов измерения: среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение .

и.

2) Обнаружение и исключение ошибок.

Вычисляем наибольшее по абсолютному значению нормированное отклонение:

мультипликативный интервал доверительный.

.

Задаемся доверительной вероятностью Р = 0,95, тогда: q=1-Р=0,05. По таблице (таблица В.1, /5/) находим соответствующее теоретическое значение:

н_{q =}2,701.

Сравниваем н с н_q. Так как н > н_q, то данный результат измерения Q₁₁ = 493 является ошибочным. Исключаем его из наших измерений. Повторяем вычисления по пунктам 1 и 2 для сокращенной серии результатов измерений: n=23.

По таблице (таблица В.1, /5/): н_q = 2,688. Так как н > н_q, то данный результат измерения Q₂₄ = 492 является ошибочным. Исключаем его из наших измерений. Повторяем вычисления по пунктам 1 и 2 для сокращенной серии результатов измерений: n=22.

По таблице (таблица В.1, /5/): н_q = 2,664. Так как условие выполняется, то ошибочных результатов нет. Все ошибки измерения исключены.

3) Проверка гипотезы о нормальности распределения оставшихся результатов измерений.

Проверка выполняется по составному критерию. Применяя критерий 1, вычислим отношение:

d = 0,786.

Зададимся доверительной вероятностью Р₁ = 0,98 и для уровня значимости q₁ = 1 — Р₁ = 0,02 с учетом n = 22 по соответствующей таблице (/5/, таблица Г.1), прибегая к линейной интерполяции, для n=22 находим d_1−0.5ql и d_0.5ql:

d_1−0.5ql = d_0,99 = 0,6968;

d_0.5ql = d_0,01 = 0,8993.

Так как d_1−0,5ql < d < d_0,5ql, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными.

Применяя критерий 2, задаемся доверительной вероятностью Р₂ = 0,98 и для уровня значимости q₂ = 1 — Р₂ = 0,02 с учетом n = 22 определим по таблицам (/5/, таблица Г.2) значения m и Р*.

m = 2 и Р* = 0,98.

Для вероятности Р* = 0,98 из таблиц для интегральной функции нормированного нормального распределения Ф (t) (/5/, таблица Б.1) определяем значение: t = 2,326. Рассчитываем доверительный интервал:

Е = t•S_Q

Е = 2,326 •1,963= 4,566.

Так как ни одна разность не превосходит Е, то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результата измерения согласуется с экспериментальными данными и закон можно признать нормальным с вероятностью Р₀ (Р₁ + Р₂ — 1). В данном случае с вероятностью Р₀ 0,96.

4) Определение стандартного отклонения среднего арифметического.

Так как закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то стандартное отклонение определяем как:

.

5) Определение доверительного интервала.

Так как закон распределения вероятности результата измерений признан нормальным, то доверительный интервал для заданной доверительной вероятности Р = 0,95 определяется из распределения Стьюдента:

Е = tS,.

где t выбирается из таблицы (/5/, Д.1), при этом m = n-1, б = P.

t = 2,074;

Е =2, 0740,419 = 0,9.

Таким образом, результат измерения можно представить следующим образом:

Р = 0,95, n = 22.

Ответ:, Р = 0,95, n = 22.