Частная и множественная линейная корреляция

Частная корреляция. Нередко взаимосвязь между двумя переменными оказывается обусловлена влиянием на нее третьей переменной. Для выявления «чистой» зависимости необходимо нивелировать влияние третьего аргумента. Сделать это помогает частный коэффициент корреляции.

Рассмотрим это на следующем примере. У юных хоккеистов команды «Локомотив» (п=63) измерили кистевую динамометрию (Х|), жизненную емкость легких (ЖЕЛ) (Х₂), измерили рост (Х₃). В соответствии с формулой найдем коэффициенты корреляции по Пирсону между указанными переменными и запишем в виде матрицы:

Мы видим наличие средней силы взаимосвязи между показателями ЖЕЛ и кистевой динамометрии (г=0,57). Вместе с тем, как правило, дети (люди), имеющие больший рост, имеют и большую ЖЕЛ, таким образом, корреляция между ЖЕЛ и динамометрией обусловлена варьированием детей, но росту.

Чтобы найти чистую зависимость, применим описанную выше формулу частного коэффициента корреляции.

Таким образом, юные футболисты одного и того же роста не имеют практически никакой взаимосвязи между ЖЕЛ и динамометрией.

Методы математической статистики позволяют находить частные коэффициенты корреляции не только при исключении влияния одной переменной, но и большего их числа. Если исключается одна переменная, то говорят о частных коэффициентах первого порядка, если два — то второго порядка и т. д. В рассматриваемом примере исключим еще одну переменную — массу тела (Х₄). Тогда формула для определения частного коэффициента корреляции (в нашем случае второго порядка) при исключении роста (Хз) и массы тела (Х₄) будет выглядеть следующим образом:

Как видно из формулы, сначала необходимо найти частные коэффициенты первого порядка, для чего используем формулу, приведенную в начале параграфа. Находим, что.

Подставляя полученные значения в формулу, находим, что чистая зависимость г=0,16.

Множественная корреляция. При решении различного рода задач исследователю приходится иметь дело с тем, что корреляционные связи не ограничиваются связями между двумя переменными. Чаще всего на результат влияет несколько переменных или факторов. Часто множественная линейная корреляция возникает, когда между несколькими независимыми переменными (Х₂, Х₃, … X*) и зависимой (Xj) переменной имеются линейные связи.

где b₂, b₃, />, — частные коэффициенты уравнения регрессии, так называемые нестандартизированные. Коэффициент Ь₂ показывает на сколько изменится зависимая переменная (Х|) при изменении Х₂ на единицу и неизменности Х₃ и Xj. Коэффициент Ь₃ показывает на сколько изменится Х| при изменении Х₃ на единицу и неизменности X,.

Частные коэффициенты регрессии находят по следующим формулам.

где (3 — стандартизированные коэффициенты, которые могут быть найдены решением системы уравнений:

Решив систему уравнений, находим, что.

Рассмотрим это на примере рейтингов (Xj) юных хоккеистов (п=63) команды «Локомотив» получившихся в результате тестирования [4]. Для этого из шести тестовых величин возьмем три: прыжок в длину с места (Х₂), кистевую динамометрию (Х₃) и результат в челночном беге (Х₄).

Рассчитав стандартизированные коэффициенты, применяя вышеописанные формулы, находим, что р₂ = -0,43, р₃ = -0,35, р₄ = 0,35.

Получили следующую формулу множественной линейной регрессии:

Из этого следует, что при изменении результата в прыжке на 1 см при неизменных величинах в динамометрии и челноке, рейтинг изменится в среднем на 1,68 ступени. При изменении результата в динамометрии на 1 даН рейтинг изменится на 1,31 ступени, при неизменных показателях в прыжке и челноке, и при улучшении результата в челночном беге на 1 с рейтинг повысится в среднем на 8,25 ступеней. Уравнение можно записать вместе со стандартной ошибкой (±S) показывающей 68,3% колебаний вокруг поверхности регрессии. То есть в нашем случае у ²/з всех участвовавших в тестировании детей рейтинг не будет отличаться от рассчитанного по формуле более чем на 10,7 ступени.

Полученный при вычислении коэффициент множественной корреляции получился Ri ₂з4⁼0,82, а детерминация D) ₂з4⁼0,68. Таким образом, вариация рейтинга юного хоккеиста на 68% объясняется совокупным влиянием результатов в челночном беге, кистевой динамометрии и дальности прыжка.

При оценке влияния независимых переменных на зависимую переменную можно оценить их вклад в это влияние при помощи коэффициентов частной детерминации.

где d 12.34 ⁼ Р2П2* d 1 з.24 ⁼ РзПз;^{Ы.23 =} Р4Г14.

Следует обратить внимание, что этими формулами (8) можно пользоваться, если P-коэффициенты и соответствующие им коэффициенты корреляции имеют одинаковые знаки. В противном случае относительное влияние переменных можно оценить непосредственно по абсолютной величине P-коэффициентов, которые показывают, на какую часть сигмы.

(о) изменилось бы значение результата при изменении переменной на сигму, при неизменности прочих переменных.

Найдем парные коэффициенты корреляции между указанными переменными и запишем их в матрицу:

Подставив полученные результаты в уравнение (11), получаем, что.

d 12.34 ⁼⁼ -0,68² > d 13.24 ⁼ -0,55Рз; (J14.23⁼ 0,56р4 Таким образом, на долю результата в прыжке приходится 29,3% вариации рейтинга, на долю динамометрии -19,3%, и на результат в челноке — -19,6%.