Приближенные формулы. 
Локальная теорема Муавра — Лапласа

При больших значениях пит пользоваться формулой Бернулли затруднительно. Одной из причин является сложность вычисления факториала большого числа в формуле числа сочетаний. Часто в этом случае используют асимптотические (приближенные) формулы для вычисления Р_т Одна из таких формул является следствием локальной теоремы Муавра — Лапласа (в некоторых книгах — теоремы Лапласа).

При больших п вероятность Р_{т п} появления события А ровно т раз в схеме из п испытаний Бернулли можно вычислять по приближенной формуле, являющейся следствием локальной теоремы Муавра — Лапласа.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в отдельном испытании не равна нулю или единице, то вероятность Р_{т п} наступления события А т раз в п повторных независимых испытаниях удовлетворяет следующему предельному равенству.

где функция Гаусса ср (х) = , — • е 2 представлена в табличном виде (прилил ложение 2) и в которой аргумент вычисляется по формуле х=

yjnpq

Если х — отрицательное число, то при нахождении ср (х) знак «-» можно проигнорировать, так как х входит в формулу для ср (х) только в квадрате.

Из локальной теоремы Муавра — Лапласа следует, что при достаточно больших п и значениях р, не слишком близких к нулю или единице,.

Пример 5.54.

В первые классы должны быть приняты 200 детей. Найти вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчиков равна 0,515.

Решение. В аналогичных задачах негласно предполагается, что вероятностью рождения близнецов можно пренебречь и что все родившиеся дети доживают до школьного возраста. Тогда этот случай можно рассматривать как повторные независимые испытания при п = 200, т = 100, q = 0,515 ир = = l-q = 0,485.

Применяя следствие из локальной теоремы Муавра —Лапласа, имеем.

По таблице (приложение 2) находим, что функция Гаусса ф (0,42) = 0,3653.

Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что среди 80 грибов белых будет 20?

Решение. По условию задачи п = 80, т = 20, р = 0,25. Тогда.

По таблице (приложение 2) <�р (0) = 0,3989. Таким образом,.

Наиболее точные результаты это следствие из локальной теоремы Лапласа дает при п > 20 и р в диапазоне 0,05 < р < 0,95.

Если же р очень мало (меньше 0,05), то пользуются асимптотической формулой Пуассона.