Неограниченная пластина (граничные условия третьего рода)
Рис. 5.6. Изменение невязки г уравнения (5.19) при п = 6 (шесть приближений) (Fo = 0,1). Граничные условия для уравнения (5.24) согласно (5.21), (5.22) будут иметь вид. Рис. 5.5. Графики распределения относительной избыточной температуры. Расчет по формуле (5.23) (шестое приближение);———точное решение. Здесь V)>(х) — функция, удовлетворяющая уравнению где X1 = р2. Начального условия при п = 6… Читать ещё >
Неограниченная пластина (граничные условия третьего рода) (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Рассмотрим использование методов Фурье и Бубнова —Галеркина применительно к решению симметричной задачи теплопроводности для бесконечной пластины при граничных условиях третьего рода. Математическая постановка задачи имеет вид.
где 0 = (ТТст)/(Т0 — 7'.т) — относительная избыточная температура; Ш = = аб/Х' — число Био; а — коэффициент теплоотдачи; X' — коэффициент теплопроводности.
Следуя методу разделения переменных, решение задачи (5.19)—(5.22) разыскивается в виде.
Здесь V)>(х) — функция, удовлетворяющая уравнению где X1 = р2. 
Граничные условия для уравнения (5.24) согласно (5.21), (5.22) будут иметь вид.
Следуя методу Бубнова —Галеркина, решение задачи (5.24)—(5.26) разыскивается в виде.
где bk — неизвестные коэффициенты; г)^(л') — координатные функции, определяемые, но формуле.
Соотношение (5.27) при использовании координатных функций вида (5.28) точно удовлетворяет граничным условиям (5.25), (5.26). Для нахождения неизвестных коэффициентов bit{k= 1, я) составляется невязка уравнения (5.24) и требуется ортогональность невязки ко всем координатным функциям гр/ж). Отсюда приходим к системе однородных алгебраических линейных уравнений вида (5.15). Из решения этой системы находятся собственные числа Xh (k = 1, я) и коэффициенты (k = 1, я). Неизвестные коэффициенты [)к находятся из начального условия (5.20). Для Bi = 1 были получены их значения.
После нахождения [)/, решение задачи (5.19)—(5.22) в замкнутом виде находится из (5.23).
На графиках рис. 5.5 представлены результаты расчетов безразмерной температуры по формуле (5.23) в шестом приближении в сравнении с точным решением [49]. Собственные числа для трех, шести и десяти приближений при Bi = 1, а также точные их значения представлены в табл. 5.2.
Рис. 5.5. Графики распределения относительной избыточной температуры.
в пластине:
—расчет по формуле (5.23) (шестое приближение);———точное решение [49].
Таблица 5.2
X | Число приближений. | Точные значения [49]. | ||
h | 0,8 603 335 890 196. | 0,86 033 358 901 938 144. | 0,86 033 358 901 938 144. | 0,86 033 358 901 938 144. |
х2 | 3,4 258 643 531 627. | 3,42 561 845 948 187 872. | 3,42 561 845 948 173 280. | 3,425 618 459 481 728. |
^3. | 6,7 722 128 430 343. | 6,43 729 921 880 302 224. | 6,43 729 817 917 191 096. | 6,4 372 981 791 719 471. |
; | 9,53 434 170 465 308 000. | 9,52 933 440 538 456 496. | 9,5 293 344 053 619 636. | |
^5. | ; | 13,765 912 756 868 714. | 12,6 452 879 743 519 483. | 12,6 452 872 238 566 431. |
к | ; | 21,214 502 413 449 106. | 15,7 721 813 131 411 852. | 15,771 284 874 815 882. |
h | ; | ; | 18,9 861 872 215 766 376. | 18,902 409 956 860 024. |
^8. | ; | ; | 23,2 058 377 193 007 191. | 22,36 496 727 938 565. |
31,2 629 620 530 977 516. | 25,1 724 463 266 466 647. | |||
^?10. | ; | 52,1 918 633 683 747 682. | 28,3 096 428 544 520 124. | |
Рис. 5.6. Изменение невязки г уравнения (5.19) при п = 6 (шесть приближений) (Fo = 0,1).
Рис. 5.7. Изменение невязки 8 уравнения (5.19) во времени для п = 3 и п = 6 в точке х = 1.
Анализируя графики рис. 5.5, можно заключить, что в шестом приближении безразмерные температуры в диапазоне 0,001 < Fo < °о практически совпадают с точными их значениями [49] (формула (29), с. 197). В точном решении было взято 30 членов.
Рис. 5.8. Изменение невязки 8 ряда.
начального условия при п = 6 Изменения невязки уравнения.
(Fo = 0) (5.19) и начального условия (5.20).
представлены на графиках рис. 5.6—5.8. Их анализ позволяет заключить, что максимальная невязка как уравнения, так и начального условия имеет место в точке х= 1.