Кинетическая энергия твердого тела

Мы видели (п. 3.1.3), что кинетическая энергия системы.

где V — скорость центра масс, а IV' — внутренняя кинетическая энергия системы (кинетическая энергия в системе центра масс). Можно показать (не очень просто), что для твердого тела.

Здесь Д — собственный момент импульса системы. Первое слагаемое в правой части (3.97) можно представить в аналогичной форме в виде , так что формула (3.97) принимает вид.

Учитывая формулу (3.86), формулу (3.98) перепишем в виде.

Следует помнить, что компоненты угловой скорости берутся в базисе, вращающемся вместе с телом, и в общем случае могут зависеть от времени.

Если тело вращается вокруг одной из главных осей, формула (3.100) упрощается:

Задача 3.23. В условиях предыдущей задачи найти изменение кинетической энергии системы в результате столкновения пули с диском.

Решение. Начальная кинетическая энергия системы — это кинетическая энергия пули и вращающегося диска:

конечная:

Имеем:

Момент импульса

(слева стоит момент импульса системы до столкновения, справа — момент импульса диска после столкновения). Сопоставляя левую и правую части этого равенства, находим угловую скорость диска:

Для внутренней энергии диска получим.

Таким образом, изменение кинетической энергии системы.

Учитывая, что приведем эту формулу к виду.

При т <& М (как в условиях задачи) выражение в скобках близко к единице, и почти вся кинетическая энергия пули переходит в тепло. Это разумный результат. Но при т :" Л/ мы получаем абсурдный результат! Небольшое размышление показывает, что в этом нет ничего страшного — решение строилось в предположении, что т М (проследите это).

Обратите внимание. Всегда полезно проверять решение любой задачи на предельных случаях, для которых ответ бывает более или менее очевиден.