Задания для самостоятельной работы

Найдите обратно-индукционные исходы в следующих последовательных играх^[1] (рис. 3.26—3.28).

19.

Рис. 3.26

20.

Рис. 3.27.

Рис. 3.28.

• 22. Игра NIM. В кучке 121 камень. Игроки (Саша и Маша) ходят по очереди. Саша за один ход может взять один или три камня, а Маша — два или четыре камня. Проигрывает тот, кто не может сделать ход по правилам. Кто выигрывает при правильной игре в следующих случаях: а) первым ходит Саша; б) первой ходит Маша?
• 23. Игра NIM. В кучке 121 камень. Игроки (Саша и Маша) ходят по очереди. Саша за один ход может взять два или пять камней, а Маша — один или четыре камня. Выигрывает тот, кто не может сделать ход по правилам. Кто выигрывает при правильной игре в следующих случаях: а) первым ходит Саша; б) первой ходит Маша?
• 24. На столе лежит: а) 124 фишки; б) 515 фишек. Два игрока (Саша и Маша) по очереди убирают некоторое количество фишек. Саша может убрать либо одну, либо две фишки. Маша может убрать либо три, либо четыре фишки. Выигрывает тот, кто не сможет сделать очередной ход. Кто победит в следующих случаях, если игроки при выборе стратегий используют метод обратной индукции: 1) первым ходит Саша; 2) первой ходит Маша?
• 25. Три фирмы выпускают одинаковый продукт. Сначала первая фирма (лидер) объявляет о своем намерении производить товар в количестве q_{. Затем вторая фирма (последователь), зная q_b объявляет о своем количестве товара q₂. После этого третья фирма (замыкающая), зная q_x и q₂, устанавливает количество товара q%. Общеизвестна обратная функция спроса P = 20-Q, где Q — общее количество продукции трех фирм. Предельные издержки фирм равны соответственно 1, 2 и 3. Сколько товара произведет каждая фирма при условии использования ими метода обратной индукции?
• 26. Три фирмы выпускают одинаковый продукт. Сначала первая фирма (лидер) объявляет о своем намерении производить товар в количестве q. Затем вторая фирма (последователь), зная q_x> объявляет о своем количестве товара д₂— После этого третья фирма (замыкающая), зная q_{ и q₂, устанавливает количество товара q₃. Общеизвестна обратная функция спроса Р= 32 — Q, где Q — общее количество продукции трех фирм. Предельные издержки фирм равны соответственно 2, 3 и 4. Сколько товара произведет каждая фирма при условии использования ими метода обратной индукции?
• 27. Есть п пиратов (п достаточно велико, п > 5). Случайным образом пираты нумеруются. Есть куча золота. Ее будут делить. Делят так: сначала пират № 1 предлагает свой способ дележа. Происходит голосование («За» — «Против»). Есть процедура подсчета голосов. Например, такая: дележ считается одобренным, если «За» проголосовало более половины всех пиратов, включая предложившего дележ. Если дележ одобрен, то игра оканчивается. Если нет, то пирата № 1 выбрасывают за борт и предлагает пират № 2. И так до тех пор, пока игра не окончится. Пираты голосуют в соответствии со своими предпочтениями:

A. Если я буду жив, то чем больше у меня будет золота, тем лучше.

Б. Жить без золота лучше, чем умереть.

B. При равном количестве золота для меня и одинаковой моей судьбе лучше тот вариант, где в живых остается больше пиратов.

Вопрос: Как будет поделена куча и сколько останется живых пиратов?

28. Есть б пиратов. Случайным образом пираты нумеруются. Есть клад — 100 золотых монет. Его будут делить. Делят так: сначала пират № 1 предлагает свой способ дележа. Происходит голосование («За» — «Против»). Есть процедура подсчета голосов. Дележ считается одобренным, если «За» проголосовало более половины всех пиратов, включая предложившего дележ. Если дележ одобрен, то игра заканчивается. Если нет, то пирата № 1 выбрасывают за борт и предлагает пират № 2. И так до тех пор, пока игра не закончится. Пираты голосуют в соответствии со своими предпочтениями:

A. Если я буду жив, то чем больше у меня будет золота, тем лучше.

Б. Жить без золота лучше, чем умереть.

B. При прочих равных условиях пираты жаждут крови — чем больше других выбросят за борт, тем лучше!

Вопрос: Как будет поделена куча и сколько останется живых пиратов?

29. В некотором городе, где живут N супружеских пар, появился глашатай, провозгласивший: «Среди ваших жен есть неверные». Слова глашатая не оспариваются и принимаются без сомнений.

Нравы у жителей города суровые. Если мужчина путем логических рассуждений определяет неверность своей жены, то она немедленно изгоняется из города. Каждый мужчина знает все о других женщинах города (верны они своим мужьям или нет), но не имеет информации о своей жене. Переговоры между жителями города не допускаются. Каждый вечер все жители города собираются на центральной площади и могут видеть всех оставшихся в городе. Кто останется в городе после всех «зачисток»?

30. В игре участвуют два игрока. Сначала первый игрок выбирает xeR; затем второй игрок, зная х, выбирает у е R. Функции выигрыша имеют вид.

Какие х и у будут реализованы игроками при использовании ими метода обратной индукции? Найдите равновесие Нэша, совершенное в подыграх.

В следующих четырех задачах (рис. 3.29—3.32) на рисунке представлена последовательная игра двух игроков. Представьте ее в нормальной форме (постройте матричную игру), найдите все равновесия Нэша (NE) и равновесия, совершенные в подыграх (SPNE).

31.

Рис. 3.29

32.

Рис. 3.30

33.

Рис. 3.31.

34.

Рис. 3.32.

В следующих трех задачах (рис. 3.33—3.35) на рисунке представлена последовательная игра двух игроков с участием Природы. Представьте ее в нормальной форме (постройте матричную игру), найдите все равновесия Нэша (NE) и равновесия, совершенные в подыграх (SPNE).

35.

Рис. 3.33

36.

Рис. 3.34

37.

Рис. 3.35

• [1] Во всех указанных ниже играх считать, что все игроки (Саша и Маша, пираты и супружеские пары) хорошо знакомы с методом обратной индукции и повсеместно его применяют.