Теоретическая часть. 
Замечательные неравенства

Средние величины. Классические неравенства. Неравенство Коши

Главным неравенством в области действительных чисел является неравенство х² 0. Из него следуют другие, известные и употребительные неравенства, первым из которых является неравенство Коши или, как его называют, неравенство о средних: Доказывается просто:, поскольку a+b0, значит неравенство можно возводить в квадрат:

(a + b)² 4ab,

a² + 2ab + b² 4ab,

a² + 2ab + b² -4ab 0,

a² — 2ab + b² 0

(a — b)² 0.

Полученное неравенство верно для любых a, b, и в том числе при положительных. Итак, исходное неравенство верно для любых a, b 0.

Пусть даны положительные числа произведение которых равно 1. Тогда справедливо неравенство причем равенство выполняется при .

Пусть даны положительные числа . Тогда справедливо неравенство.

Это неравенство французского математика О. Л. Коши, установленное в 1821 г., причём равенство имеет место лишь в случае, когда .

Частный случай этого неравенства известен как неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Для > 0 среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднего арифметического? .

Доказательство: Имеем.

Так как ab, то, причем знак равенства имеет место при a=b. Таким образом, разность неотрицательна и неравенство доказано.

Пример 2. Доказать, что для любых чисел a, b и c имеет место неравенство.

Доказательство: выберем неравенства.

,.

Сложим эти неравенства, а затем разделим обе части полученного неравенства на два, получим нужное неравенство.

Пример 3. Доказать, что для любых неотрицательных чисел a, b, c, d имеет место неравенство.

Доказательство: Воспользуемся неравенствами Коши.

и.

Тогда получим: