Матрицы. 
Операции над матрицами

Прямоугольной матрицей размера m x n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде.

A = (4.1).

или сокращенно в виде A = (a_ij) (i =; j =). Числа a_ij, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй — на номер столбца. Две матрицы A = (a_ij) и B = (b_ij) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a_ij = b_ij.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m x n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы a_ii диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

E = .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Пусть дана матрица (4.1). Переставим строки со столбцами. Получим матрицу.

A^T = ,.

которая будет транспонированной по отношению к матрице А. В частности, при транспонировании вектора-столбца получается вектор-строка и наоборот.

Произведением матрицы, А на число л называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы, А умножением на число л: лA = (лa_ij).

Суммой двух матриц, А = (a_ij) и B = (b_ij) одного размера называется матрица C = (c_ij) того же размера, элементы которой определяются по формуле c_ij = a_ij + b_ij.

Произведение АВ матрицы, А на матрицу В определяется в предположении, что число столбцов матрицы, А равно числу строк матрицы В.

Произведением двух матриц, А = (a_ij) и B = (b_jk), где i =, j=, k=, заданных в определенном порядке АВ, называется матрица С = (c_ik), элементы которой определяются по следующему правилу:

c_ik = a_i1b_1k + a_i2b_2k + … + a_imb_mk = a_isb_sk. (4.2).

Иначе говоря, элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и k-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы, А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.