Временные ряды и прогнозирование. 
Автокорреляция возмущений

Одна из важнейших задач (этапов) анализа временного (динамического) ряда, как отмечено выше, состоит в прогнозировании на его основе развития изучаемого процесса. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Задача ставится так: имеется временной (динамический) ряд y_t (t = 1, 2,…, /?) и требуется дать прогноз уровня этого ряда на момент п + т.

Выше, в параграфах 13.2, 13.6, 13.7, мы рассматривали точечный и интервальный прогнозы значений зависимой переменной У, т. е. определение точечных и интервальных оценок У, полученных для парной и множественной регрессий для значений объясняющих переменных Х_у расположенных вне пределов обследованного диапазона значений X.

Если рассматривать временной ряд как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время», то к нему могут быть применены рассмотренные выше методы анализа. Следует, однако, вспомнить, что одна из основных предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что возмущения в_г (? = 1, 2,…, п) представляют собой независимые случайные величины с математическим ожиданием (средним значением), равным нулю. А при работе с временными рядами такое допущение оказывается во многих случаях неверным.

Действительно, если вид функции тренда выбран неудачно, то вряд ли можно говорить о том, что отклонения от нее (возмущения г_г) являются независимыми. В этом случае наблюдается заметная концентрация положительных и отрицательных возмущений, и можно предполагать их взаимосвязь. Если последовательные значения s_r коррелируют между собой, то говорят об автокорреляции возмущений (остатков, ошибок).

Метод наименьших квадратов, вообще говоря, и в случае автокорреляции возмущений дает несмещенные и состоятельные оценки параметров, однако их интервальные оценки могут содержать грубые ошибки. В случае выявления автокорреляции возмущений целесообразно вновь вернуться к проблеме спецификации уравнения регрессии (выбора функции тренда), пересмотреть набор включенных в него переменных и т. п.

Наиболее простым и достаточно надежным критерием определения автокорреляции возмущений является критерий Дарвина — Уотсона. С помощью этого критерия проверяется гипотеза об отсутствии автокорреляции между соседними остаточными членами ряда e_t и e_t__t (для лага т = 1), где е₍ — выборочная оценка s,.

Статистика критерия имеет вид.

n n n.

При достаточно большом n можно считать, что X ^et ~ X ^ef ~ X ^et- • Тогда.

t=1 ?=2 Г=2.

после несложных преобразований получим, что.

Статистика d заключена в границах от 0 до 4; при отсутствии автокорреляции d~ 2 (так как при этом Yj^et^et- =0); при полной положительной.

t=2

(п п Л автокорреляции d ~ 0 Yj^et^et-~Yj^et У* ^ПР^И полной отрицательной ;

=2 ?=2 У.

(п п

d~4 •.

w=2 ^=2 ;

Для^{-статистики} найдены верхняя d_B и нижняя rf_fI критические границы на уровнях значимости, а = 0,01; 0,025 и 0,05.

Если фактически наблюдаемое значение (рис. 14.2):

• а) d_u < d < 4 — d_B, то гипотеза Я₀ об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается);
• б) d_nB или 4 — d_Bn, то вопрос об отвержении или принятии гипотезы Я₀ остается открытым (область неопределенности критерия);
• в) 0 < d < d_n, то принимается альтернативная гипотеза о положительной автокорреляции;
• г) 4 — d_H < d < 4, то принимается альтернативная гипотеза об отрицательной автокорреляции.

Рис. 14.2.

В табл. 14.2 приведен фрагмент таблицы значений статистик d_n и d_K критерия Дарбина — Уотсона на уровне значимости а = 0,05.

Таблица 14.2.

Недостатками критерия Дарбина — Уотсона является наличие области неопределенности критерия, а также то, что критические значения //-статистики определены для объемов выборки не менее 15.

|> Пример 14.4. Выявить на уровне значимости 0,05 наличие автокорреляции возмущений для временного ряда y_t по данным табл. 14.1.

Решение. В примере 14.2 получено уравнение тренда ^ =181,32+± + 25,679/ (ед.). В табл. 14.3 приведен расчет сумм, необходимых для вычисления //-статистики.

Таблица 14.3.

Теперь по формуле (14.10) статистика d «2(1+1198,0/7059,2) = 2,34. По табл.

• 14.2 прир = 1, п = 15 критические значения d_u= 1,08; d_B= 1,36, т. е. фактически найденное d = 2,34 находится в пределах от d_B до 4 — d_B (1,36 < d < 2,64). Как уже отмечено, при п < 15 критических значений (7-статистики в табл.
• 14.2 нет, но судя по тенденции их изменений с уменьшением п можно предполагать, что найденное значение останется в интервале (d_B> 4 — d_B), т. е. для рассматриваемого временного ряда спроса на уровне значимости 0,05 гипотеза об отсутствии автокорреляции возмущений не отвергается (принимается). ?

В случае отсутствия значимой автокорреляции возмущений методами регрессионного анализа может быть найдена не только точечная, но и интервальная оценка уровней ряда, т. е. осуществлены их точечный и интервальный прогнозы.

О Пример 14.5. По данным табл. 14.1 дать точечную и с надежностью 0,95 интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений спроса на некоторый товар на момент t = 9 (девятый год).

Решение. Выше, в примере 14.2, получено уравнение регрессии y_t = 181,32 + + 25,679f, т. е. ежегодно спрос на товар увеличивался в среднем на 25,7 ед. Надо оценить условное математическое ожидание M_t=9(Y) =1/(9). Оценкой у (9) является групповая средняя у₍₌₉ = 181,32 + 25,679 • 9 = 412,4 ед.

Найдем по формуле (13.6) оценку s² дисперсии а² (см. табл. 14.3):

Вычислим оценку дисперсии групповой средней по формуле (13.12):

(здесь мы использовали данные, полученные в примере 14.2:

По табл. IV приложений ^о.95;б ⁼ 2,45. Теперь по формуле (13.13) интервальная оценка прогноза среднего значения спроса:

или

Для нахождения интервальной оценки прогноза индивидуального значения у"(9) вычислим дисперсию его оценки по формуле (13.14):

а затем по формуле (13.15) — саму интервальную оценку для у*{9): или

Итак, с надежностью 0,95 среднее значение спроса на товар на девятый год будет находиться в пределах от 346,9 до 477,9 (ед.), а его индивидуальное значение — от 305,9 до 518,9 (ед.). ?

Прогноз развития изучаемого процесса на основе экстраполяции временных рядов может оказаться эффективным, как правило, в рамках краткосрочного, в крайнем случае, средне, срочного периода прогнозирования.

Если в рассматриваемой регрессионной модели автокорреляция возмущений существует, то необходимы меры по ее устранению (или снижению). С этой целью используются различные методы.

Метод последовательных разностей состоит, в частности, в переходе от уровней ряда y_t, х, к их первым разностям.

и рассмотрению уравнения регрессии Ау, = Ь₀ + Ь_хДх_г, в котором коэффициент Ь_х интерпретируется как средний прирост переменной у₍ при изменении прироста х, на одну единицу. Метод эффективен, когда неслучайная составляющая временного ряда представляет прямую линию.

Другим возможным методом снижения автокорреляции является включение в модель регрессии времени t в качестве дополнительной объясняющей переменной:

Метод оправдан, если он не приводит к мультиколлинеарности (см. параграф 13.9).

О Пример 14.6. По данным табл. 14.1, отражающей динамику цен x_t и спроса у, некоторого товара за восьмилетний период, выяснить на уровне значимости 0,05, оказывает ли цена влияние на спрос.

Решение. Если абстрагироваться от того, что переменные х_г и y_t представляют собой временные ряды, то в предположении существования линейной регрессии можно получить аналогично примеру 12.1 (или 12.2) уравнение регрессии в виде: у₁ = 635,2 — 0,8843х_г. По /'-критерию уравнение регрессии значимо на уровне 0,05, так как вычисленное значение статистики F= 9,00 > Ео.05;1;6⁼ 5,99.

Однако такой вывод был бы правомерен по крайней мере при отсутствии автокорреляции возмущений е, временного ряда зависимой переменной у,. Использование критерия Дарбина — Уотсона показывает наличие существенной автокорреляции остаточного временного ряда e_t -y_t-y,. Таким образом, для обоснованного ответа на вопрос задачи необходимо исключить автокорреляцию возмущений.

Первый способ. Перейдем в соответствии с равенствами (14.11) от уровней ряда у, и х, к их первым разностям Дy_t и Дх₍. Значения переменных Дх₍ и Ау, представим в табл. 14.4.

Таблица 14.4.

Рассчитанное уравнение регрессии: Ay_t = 9,94 — 0,7064 Дх, Проверка уравнения по F-критерию на уровне 0,05 показывает, что оно незначимо, так как F — 3,96 < Fq, 05;1;5⁼ 6,61. Итак, нет оснований считать, что цена на данный товар оказывает существенное (значимое) влияние на спрос.

Второй способ. Включим в модель регрессии время Z в качестве дополнительной объясняющей переменной. Методом наименьших квадратов (см. параграф 12.5) получим уравнение (14.12) в виде у, = 380,4 — 0,4443 х₍ + + 19,22/, причем коэффициент при переменной Z оказался значимым по /-критерию (// = 3,82 > /095 5 = 2,57), а при переменной x_t — незначимым (Z/j ⁼ 2,22 < /_{0 95;5} = 2,57). Следовательно, подтверждается вывод о незначимом влиянии цены х, на спрос y_t на данный товар. ?

Одним из распространенных методов устранения автокорреляции является использование авторегрессионной модели.