Использование интегрирующего множителя

Приведем пример решения линейного дифференциального уравнения с использованием интегрирующего множителя:

Пусть дано уравнение вида:

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0.

Предположим, что левая часть уравнения не является полным дифференциалом. Чтобы привести это уравнение к уравнению в полных дифференциалах найдем функцию µ(х, у) такую, что при умножении не левую часть уравнения мы получим уравнение в полных дифференциалах:

µ(х, у)(M (x, y) dx + N (x, y) dy) = du.

Функция µ(х, у) называется интегрирующим множителем. Умножим левую и правую часть на любую функцию:

ц (u)µ(х, у)(M (x, y) dx + N (x, y) dy) = ц (u)du = d.

v = µц (u)(Mdx + Ndy).

µ1(x, y) = µ(x, y) ц (u).

Т.к. ц (u) — бесконечное множество, то подобную операцию можно повторять до бесконечности.

Пример № 1:

Пусть — интегрирующий множитель, тогда подели обе части уравнения на :

ydy/ = xdy + ydx.

Выделим полные дифференциалы в обеих частях:

=.

Возьмем интеграл полученного выражения:

= xy + C.

Ответ: = xy + C; C є R.

Пример № 2:

(x2 + 3lny) ydx = xdy.

Введем замену lny = z, получим:

(x2 + 3z) dx — xdz = 0.

Интегрирующий множитель этого уравнения будем искать в виде µ = µ(х), получив выражение вида:

(µ(x2 + 3z)) + (µx) = 0 =>, что 4µ + xµ' = 0.

Разделив переменные и проинтегрировав полученное уравнение, найдем интегральный множитель:

• -xµ' = 4µ
• -x = 4µ
• — 4 =
• — 4 =
• -4lnx = lnµ

µ = x-4 = 1/x4.

Разделив исходное уравнение с заменой на х4, получим уравнение в полных дифференциалах:

(1/x2 + 3z/x4)dx = dz/x3.

Преобразуем полученное выражение:

x3(1/x2 + 3z/x4) =.

x + = z'.

z' - = x.

Решим однородное уравнение:

z' - = 0.

— = 0.

=.

Разделим переменные и проинтегрируем данное однородное уравнение:

= 3.

= 3.

lnz = 3lnx + lnC.

z = x3C.

Найдем производную и подставим ее и решение в изначальное уравнение с заменой:

z' = 3x2C + C’x3.

C’x3 + 3x2C — 3x3C/x = x.

Умножим обе части на x:

C’x4 + 3x3C — 3x3C = x2.

C’x4 = x2.

Разделим обе части на x2, разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение:

C’x2 = 1.

C' = 1/x2.

= 1/x2.

dc = dx/x2.

=.

=.

C = - + C1.

Подставим найденную постоянную в исходное линейное уравнение:

z = x3(- + C1).

z = - x2 + x3C1.

Произведем обратную замену:

lny = x3C1 — x2.

Ответ: lny = x3C1 — x2; С1 є R.

Пример № 3:

ydx — xdy = 2x3tgdx.

Пусть.

µ = 1/x2.

интегрирующий множитель, тогда разделим обе части уравнения на x2:

(ydx — xdy)/x2 = 2xtgdx.

Выделим полный дифференциал в левой части уравнения:

— d () = 2xtgdx.

d () + 2xtgdx = 0.

Произведем замену = z:

dz + 2xtgzdx = 0.

dz + tgzdx2 = 0.

Разделим переменные и проинтегрируем полученное выражение:

tgzdz = -dx2.

Произведем замену t.

gz = :

= - dx2.

Внесем cosz под знак дифференциала:

= -dx2.

= ;

ln|sinz| = C — x2.

sinz = Ce^{-x²}.

Произведем обратную замену:

sin = Ce^{-x²}.

Ответ: sin = Ce^{-x²}; C є R,.

Глава II. Уравнение Бернулли Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

Y' + P (x)y = Q (x)yn, n? 0,1, (1).

называется уравнением Бернулли (при n = 0 или n = 1 получаем неоднородное или однородное линейное уравнение). При n = 2 получаем честный случай уравнение Риккати. Это уравнение названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего его в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашел его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.

Характерным признаком, по которому можно определить уравнение Бернулли, является наличие функции yn.

Чтобы решить уравнение Бернулли, т. е. уравнение (1), надо разделить обе его части разделить на yn и сделать замену 1/yn — 1 = z. После замены получается линейное уравнение, которое можно решить как простое линейное уравнение.

Но иногда мы можем встретить уравнение Риккати, оно выглядит так:

y' + P (x)y + Q (x)y2 = C (x),.

в общем случае оно не решается в квадратурах. Если же известно одно частное решение y1(x), то заменой y = y1(x) + z уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли и таким образом может быть решено в квадратурах.