Истечение при переменном напоре и постоянном притоке

Рассмотрим истечение из резервуара через отверстие в атмосферу. Площадь резервуара не постоянна по высоте, площадь отверстия, начальный напор над центром отверстия. В резервуар от внешнего источника поступает жидкость, расход притока =const. Пренебрегая, получим, что при неизменности напора, т. е. при установившемся движении, для вытекания расхода через отверстие площадью потребуется напор, определяемый из формулы.

.

откуда.

Если напор над центром отверстия равен, то движение будет установившимся, напор не будет изменяться и из отверстия будет вытекать точно такой же расход, что и поступает в резервуар, т. е. .

Если напор над центром отверстия в начальный момент времени не равен, то возможны два случая:

1) при через отверстие будет вытекать расход. Объем жидкости в резервуаре будет увеличиваться, напор повышаться, а расход постепенно увеличиваться. Когда напор станет равным, расход достигнет значения, т. е. отток станет равным притоку, движение станет установившимся;

2) при через отверстие будет вытекать расход. В связи с этим уровень жидкости в резервуаре будет постепенно понижаться, напор и расход будут уменьшаться до тех пор, пока напор не станет равным и соответственно вытекающий расход не сравняется с расходом притока. После этого будет происходить истечение при постоянном напоре и расходе .

Определим время изменения напора в резервуаре от до. Используя изложенное выше допущение о возможности применения формулы при постоянном напоре (т. е. при установившемся движении), рассмотрим истечение за бесконечно малый интервал времени при некотором промежуточном значении напора (рис. 11.1).

Рис. 11.1.

За время через отверстие вытечет объем жидкости.

а втечет в резервуар объем жидкости, равный .

Изменение объема жидкости в резервуаре за время составит.

Заключенное в скобки выражение может быть положительным или отрицательным в зависимости от соотношения и. В результате изменения объема за время уровень жидкости в резервуаре изменится (поднимется или опустится) на бесконечно малую величину. При этом изменение объема жидкости равно, где — площадь поперечного сечения резервуара на уровне .

Очевидно, что.

.

Подставив по (11.1), получим.

Отсюда.

.

Введем новую переменную.

тогда.

Но.

поэтому.

Подставив.

в (11.2), получим.

.

Отсюда находим выражение для времени, за которое напор над центром отверстия изменится от до :

В (11.3) под знаком интеграла кроме переменной имеются еще переменные и. В общем случае может зависеть от, а коэффициент расхода также может изменяться с изменением напора, так как при этом изменяются числа Рейнольдса, Вебера, Фруда, которые могут влиять на. Рассмотрим только те случаи, когда допустимо принимать изменение коэффициента расхода в процессе истечения настолько незначительным, что можно принять постоянным.

Далее могут представиться два случая.

1. Площадь поперечного сечения резервуара с глубиной не изменяется (= const), тогда в (11.3) можно вынести за знак интеграла:

истечение жидкость напор резервуар

или.

.

2. Площадь поперечного сечения резервуара изменяется в зависимости от глубины и тем самым от напора .

Здесь также возможны два случая:

а) зависимость площади от можно выразить аналитически:. Примером является горизонтальный цилиндрический резервуар диаметром, длиной (рис. 11.2).

При истечении жидкости из такого резервуара при отсутствии притока (=0; =0).

. (11.5).

Выразив площадь через проинтегрируем (11.5), заменив через. Получим.

Рис. 11.2.

Время, за которое из резервуара выльется вся жидкость (время полного опорожнения резервуара), равно.

. (11.6).

Зависимость площади от не выражается аналитически. Примерами таких резервуаров служат водохранилища и пруды. Если зависимость не выражается аналитически, то взять интеграл (11.5) невозможно.

Рассмотрим приближенное решение задачи об опорожнении водохранилища (рис. 11.3) через донный водовыпуск площадью выходного сечения при условии, что задан приток, коэффициент расхода водовыпуска и кривая .

Объем жидкости, которая должна вытечь из водохранилища, разобьем горизонтальными плоскостями на слоев равной высоты (значения принимаются исходя из необходимой точности расчета). Объемго слоя.

. (11.7).

Величины находятся по кривой .

Рис. 11.3.

По формуле (11.7) время уменьшения напора от до получается суммированием промежутков времени, необходимого для вытекания каждого из слоев, на которые разделен по высоте объем той части водохранилища, которая заключена между отметками и .

Тот же расчет можно выполнить несколько иначе. После определения объема каждого слоя следует вычислить средний напор для каждого слоя.

затем найти средний расход при вытекании из водохранилища данного слоя.

и вычислить необходимое для этого время.

Затем следует просуммировать полученные интервалы времени .