Задача Ж. Бюффона

На плоскости проведено семейство параллельных прямых. Расстояние между соседними прямыми равно l. На эту плоскость наудачу бросается отрезок длины l. Какова вероятность того, что отрезок пересекается хотя бы с одной из прямых семейства?

На рис. 3 а через y обозначено расстояние от правого конца отрезка до ближайшей слева прямой. Через обозначим угол между отрезком и лучом, параллельным прямым семейства, начало которого совпадает с правым концом отрезка. Очевидно, что и. Для того, чтобы отрезок пересекал хотя бы одну из прямых семейства, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: или. Используя представление о брошенном наудачу отрезке, мы имеем в виду, что произвольная точка () наудачу брошена на прямоугольник (рис. 3 б). На этом рисунке заштрихована фигура, координаты которой удовлетворяют неравенству. Площадь этой фигуры, деленная на площадь всего прямоугольника и будет равна искомой вероятности. Площадь прямоугольника, а площадь заштрихованной фигуры.

.

Отсюда искомая вероятность равна.

Использованный подход может быть естественно обобщен на произвольное расстояние между параллельными прямыми и произвольную длину бросаемого отрезка. Кроме того, как следует из приведенной формулы, если воспользоваться имитационным моделированием, можно приближенно оценить числовое значение. Для этого необходимо сымитировать условия задачи и, проведя несколько сот «бросаний» оценить значение p (как отношение числа случаев, когда отрезок пересечет некоторую прямую к общему числу экспериментов), а затем вычислить .

Оперирование с геометрическими вероятностями требует, как впрочем и для всех вероятностных задач, строгого определения условий, определяющих искомую вероятность. В противном случае возможны такие ситуации как в известном парадоксе Ж. Бертрана, суть которого состоит в следующем.

Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Нужно найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность. Оказывается, что разные представления о том, что есть такое «случайный выбор» приводят к разным результатам. Рассмотрим три возможных подхода. Еще два предлагаются для самостоятельного решения.

В круге, ограниченном данной окружностью случайно (равномерно) выбирается точка. Эта точка определяет единственную хорду, серединой которой она является. Эта хорда длиннее стороны нашего правильного треугольника тогда и только тогда, когда ее середина лежит внутри круга вписанного в треугольник (рис. 4 а). Радиус этого круга равен половине радиуса исходного круга и, следовательно, площадь вписанного круга составляет ¼ площади исходного. Исходя из определения геометрической вероятности, вероятность того, что случайно выбранная точка лежит внутри вписанного круга, равна ¼. Это и есть ответ.

Возможен, однако, и другой подход. С учетом соображений симметрии можно считать, что одним концом хорды является произвольная фиксированная точка на окружности. Пусть этой точкой будет одна из вершин вписанного правильного треугольника (рис. 4 б). Второй конец хорды выбирается на окружности случайно с равномерным распределением. В этом случае хорда будет длиннее стороны правильного треугольника, если она пересекает этот треугольник. С другой стороны, вершины правильного вписанного треугольника делят окружность на три равные дуги, так что искомая вероятность будет равной 1/3.

Еще один вариант выглядит следующим образом. Выберем точку случайным образом равномерно на радиусе окружности и возмем хорду, которая перпендикулярна этому радиусу и проходит через выбранную точку (4 в). Тогда случайная хорда длиннее стороны вписанного правильного треугольника, если выбранная точка лежит на той половине радиуса, которая ближе к центру. Соображения симметрии показывают, что неважно какой радиус выбран для построения. Во всех случаях искомая вероятность равна ½.

В заключение еще раз обратим внимание, что неоднозначность понятия «равномерный случайный выбор» приводит к разным значениям искомой вероятности.