Меры. 
Квантовая физика и неколмогоровские теории вероятностей

Пусть X — произвольное множество, и пусть 7?. кольцо подмножеств множества X. Пару (АА 7Z) называют измеримым пространством. Говорят, что кольцо 7Z отделимое, если для любых двух различных элементов х и у пространства X существует множество А € TZ такое, что.

х € Л, у? А. Мы будем рассматривать измеримые пространства только над отделимыми кольцами, которые покрывают множество X.

Каждое кольцо 7Z может использоваться как основа для нуль-мерной топологии⁸, которую мы будем называть Я-топологией. Эта топология будет хаусдорфовой тогда и только тогда, когда кольцо 7Z отделимо.

Везде в этом разделе кольцо 7Z является отделимым накрывающим кольцом множества X.

Говорят, что подсовокупность S кольца 7Z стягивающаяся, если пересечение любых двух ее элементов содержит элемент из «5. Если S стягивающаяся, и если / обозначает отображение из 7Z в К или из 7Z в R. мы говорим, что предел 1ппд_€5 /(Л) равен 0 если для любого е > О, существует Ло € S такой, что |/(Л)| < е для всех А € «S, А с Ло.

Пусть К — неархимедово поле с нормированием |? |/<-.

Мерой на кольце 71 является отображение р: 1Z —> К со следующими свойствами:

• (i) отображение р аддитивно;
• (ii) для всех А € 71. верно равенство ЦЛЦ^ = sup{|/i®|/^: В € 71, В С

А} < оо;

(iii) если совокупность S С 7Z стягивающаяся и имеет пустое пересечение, тогда Ит_Л€5//(Л) = 0.

Мы называем эти условия соответственно: аддитивность, ограниченность, непрерывность. Последнее условие эквивалентно следующему: Нтл_е$ || Л||_я = 0 для любой стягивающейся совокупности S с пустым пересечением.

Условие (iii) есть замена а-аддитивности. Ясно, что из (iii) следует о- аддитивность. Кроме того, мы увидим, что для наиболее интересных случаев условие (iii) эквивалентно <7-аддитивности. Конечно же, в принципе, мы могли бы ограничить наше внимание этими случаями и использовать общепринятое условие (7-аддитивности. Однако, в этом случае нам следовало бы использовать некоторые топологические ограничения на пространство X. Из этого следует, что мы должны рассмотреть некоторую топологическую структуру на р-адическом вероятностном пространстве. Нам не хотелось бы это делать. Мы будем развивать теорию р-адических вероятностных мер точно также, как^[1][2]

A. H. Колмогоров (в 1933 году) развивал теорию веществеинозиачиых вероятностных мер, начиная с произвольной алгебры множеств.

Далее, мы кратко обсудим основные свойства мер, подробности см. в работе |104|. Как и в главе 1, для любого множества D. обозначим его характеристическую функцию символом 1р. Для отображения /: X —> К и ф: X —> [0. эс), положим.

Положим.

для x € X. Тогда выполняется равенство ЦАЦ^ = ||/л||лг_я для любого Л е 71. Полагаем ||/||_р = f_Nli-

Ступенчатой функцией (или 7^-ступенчатой функцией) называют функцию /: X ->• К вида f (x) = ^_=lc_kJ,_k() ^гД^е € К, а Л_к е 71. Л_к П Л ( = 0, к Ф /. Для таких функций полагаем.

Обозначим пространство всех ступенчатых функций через S (X). Интеграл / —> J_x f (x)fi (dx) является линейным функционалом на пространстве S (X), который удовлетворяет неравенству.

Функция /: X —> К называется ц-интегрируемой, если существует последовательность ступенчатых функций {/"} таких, что 1пп_п_юо ||/ — /_п||" = 0. Все //-интегрируемые функции образуют векторное пространство L (X, р) (и S (X) С L (X, //)). Интеграл продолжается с пространства S (X) на пространство Ь (Х, //) но непрерывности. Неравенство (4.1) имеет место и для / € Ь (Х_уц).

Пусть 7Z_fl = {А: А С X, I_A € L (X,//)}. Это кольцо. Его элементами являются //-измеримые множества. Полагая р (А) = _v /д (.г)//(//./•), мера // продолжается до меры на множестве 7Z,. Это максимальное продолжение меры //, т. е., если мы повторим предыдущую процедуру, начиная с кольца 7Z_fl, то мы получим снова это кольцо.

Положим X_t = {л: € X: N^(x) > t:}, JT₀ = {.г € X: N^x) = 0}, Х+ = X Xq. Каждое множество А с Xq принадлежит совокупности 71 _ft. Мы называем такие множества р-препебреэюимыми.

Теперь построим произведение мер. Пусть pj, j = 1,2,гг, — меры, заданные на (отделимых) кольцах 71 j подмножеств Х_г Конечные объединения этих множеств А х х A_n, Aj € TZj, образуют (отделимое) кольцо 711 х • • • х 71_п для множества Х х • • • х Х_п. Существует единственная мера р х • • • х р_п на кольце TZi х •? ? х 71_п такая, что выполняется равенство р х? ? • х р_п(А х • • • х А_п) = р (А) х • • • хр_п(А_п). Имеет место равенство.

Пусть X — иуль-мериое топологическое пространство^[3]. Обозначим кольцо открыто-замкнутых (т.е., одновременно и открытых и замкнутых) подмножеств пространства X символом В (Х) (фактически, это алгебра). Обозначим пространство непрерывных ограниченных функций /: X —> К через Сь (Х). Мы используем норму ||/||ос = ^suPzex |/(#)|/< на этом пространстве.

Заметим, что, если X компактно и 71 = В (Х), тогда условие (in) в определении меры является излишним. Если X не компактно, тогда существуют конечно аддитивные функции множеств, которые не являются непрерывными.

Пусть X нуль-мернос N-компактпое топологическое пространство, г. е., существует множество S такое, что X гомеоморфно замкнутому подмножеству множества N^s. Заметим, что любое произведение N-компактных пространств есть N-компактное пространство; любое замкнутое подпространство N-компактного пространства является N-компактом. Здесь каждая ограниченная сг-аддитивная функция р: В (Х) —> К является мерой. С другой стороны, если X — нуль-мерное пространство такое, что каждая ограниченная гт-аддитивпая функция из В (Х) в К является мерой, тогда X N-компактно.

В теории интегрирования важная роль отводится^{-топологии,} т. е., (нуль-мерной) топологии, которая имеет кольцо 7Z_fl в качестве базы. Конечно, 71ц-топология сильнее 7^-топологии. Каждое д-иренебрежимое множество открыто-замкнуто относительно 7?,_г-топологии. Следующие две теоремы (см. |104|) будут важны для наших рассуждений.

Теорема 4.1. (i) Если р — мера, заданная на R. тогда N_fl является 'R-полунепрерывной сверху функцией, (следовательно, R_f,-полунепрерывна сверху) и для всякого множества А € R, и е > 0 множество А₍ =

А П Х₍ является компактным относительно R_IX-топологии.

(и) Обратно, пусть (функция р: R —> К аддитивна. Предположим, что существует. R-полупепрерывная сверху функция ф: X —" [0, ос) такая, что верна оценка ц (А)к < sup^^ ф (х), А € R. а множество {.г € А: ф (х) > f} — R-компакт (А е R.e > 0). Тогда р является мерой и справедливо соотношение X_fl < ф.

Теорема 4.2. Пусть р: R —> К — мера. Функция {: X —> К ринтегрируема тогда и только тогда, когда она. обладает следующими свойствами: (1) / R_fl-непрерывна; (2) для каждого е > 0. множество {х: /(х)кХ,(х) > б} есть П_/Гкомпакт.

Также мы будем использовать следующий факт.

Теорема 4.3. Пусть f € L (X, p) и пусть

Тогда верно включение: supp / С Л'₀

Доказательство. Предположим, ч то / удовлетворяет условию (4.2) и существует элемент .го € Х₊ (отсюда N^xо) = о > 0) такой, что |/(а?о)|к = с > 0. Пусть {Д} последовательность^{-ступенчатых} функций, которые аппроксимируют функцию /.Для каждого с > 0 существует номер N_e такой, что ||/ — fk < olc для всех к > N_c. В частности, из этого следует, что /к{хо)к > с — е, к > N₍. Тогда имеем:

Пусть.

и пусть х₀ € B_kjo. Если В С B_kjo, В € R. тогда А_в,_к = суки (В)к = /к[хо)кц (В)к < ос. С другой стороны, поскольку B_kjX > о" тогда для любого 6 > 0, найдётся множество В С B_kj₀₁B € R, такое, что р (В)к > (а — (5). Таким образом, получаем для этого множества В

соотношение: Ав, к > (а — 5) (с — е). Выбирая числа е > 0,(5 > 0, таким образом, что (а — ае приходим к противоречию. ?

Будем использовать следующий простой факт.

Лемма 4.1. Пусть (Xj. 7Zj), j = 1,2, — пространства с мерой и пусть функция /: Х —> Х₂ измерима. Ec. au совокупность S является стягивающейся в TZ₂, тогда совокупность /^-1(«S) — стягивтогцаяся в Пу. Если S имеет пустое пересечение, тогда также обладает

пустым пересечением.

Лемма 4.2. Пусть (Xj, 7Zj), j = 1,2, — пространства с мерой и пусть г) Х —> Х₂ — измеримая функция. Тогда, для любой меры ц :

71 —У К, функция: П₂ —> К, определённая равенством дДЛ) = р (г]~¹(А)), есть мера на 7Z₂ и, для каждой 1Z₂-непрерывной функции, h: Х₂ —> К имеет, место следующее неравенство:

Доказательство. Для каждого А € TZ₂, имеем:

Значит, функция р_п ограничена. Теперь докажем, функция что р_Т, непрерывна на множестве 7Z₂. Пусть совокупность S стягивающаяся в 1Z₂ и имеет пустое пересечение. По лемме 4.1 rj~^l(S) является стягивающейся в TZi, которая также имеет пустое пересечение. По формуле (4.4) получаем, что Иm_A€S Л^ = 0.

Докажем неравенство (4.3). Пусть функция h: Х₂ —> К^{-непрерывна.} Мы хотим доказать, что неравенство |/*(6)|л:Л^, Д&) < ||Л ° выполняется при всех Ь € Х₂. Таким образом, выберем 6 6 Х₂ так, что /г (6) ф 0. Тогда множество Сь = {у € Х₂: й{у)к = |/*(^)U'} является открытым относительно топологии в 1Z₂. Следовательно, существует множество В € Т1₂ такое, что Ь € В С Сь- Тогда имеем цепочку неравенств:

Следующая теорема о замене переменных будет важна в наших вероят! юст11 ы х рассу ж дс н и я х.

Теорема 4.4. (Хренников ван Рой) Пусть (Xj, 7Zj), j = 1,2, пространства с мерой и пусть ?;: Х —> Х₂ — измеримая функция, а р: 7Zi —> К — мера. Earn функция }: Х₂ —> К непрерывна относительно топологии TZ₂ такая, что функция for) принадлежит пространству L (Xь/i), тогда / € Li (X₂, p_v) и справедлива формула замены переменных

Доказательство. Достаточно доказать, что для каждого е > 0 найдётся 7²-ступенчатая функция у такая, что ||/—< е и ||/о//—got)_fl < е. Согласно оценке (4.3), первое следует из второго. Таким образом, зафиксируем е > 0.

По теореме 4.2 множество.

является 71 -компактом и поэтому содержится в элементе совокупности 7Z]. Но функция ограничена на каждом элементе совокупности 71, так что ограничена на множестве А. Выберем число 6 > 0 так, чтобы.

Так как А — компакт, то множество f (i](A)) также компакт. Покроем f (rj (A)) ненересекающимися замкнутыми шарами радиуса 6: f (i](A)) С Us (c*o) U … U Us (a_Aw), где а₀ выбирается равным нулю, для того, чтобы получить оценки:

При каждом п, множество С_п = {С € TZ₂: С С /^_1(^<$(^ап))} является объединением открытых множеств, покрывающих компакт t](A) П f~^l(Us{c*_n)). Значит, для каждого п существует множество С_п € С" такое, что rj (A) П f~^l(Us (ct_n)) С С_п. Теперь имеем.

Положим д (х) = Х^п=о^ап!с_п{^х) — Тогда д — 7²-ступенчатая функция. Мы хотим показать, что для всех а е X справедлива оценка.

Выберем а € X :

• (1) Если а е А, то существует единственное число п и г)(а) € С_п. Тогда верно неравенство: А (а) = (f од) (а) — а"|^А^(а) < SN^a) < е.
• (2) Если а? A, a rj (a) G С_п при некотором п, то согласно оценкам (4.5) мы получим, что, А (а) = |(/ о д)(а) — a_nKN_fl(a) < |(/ о д)(а)к^(а) < е.
• (3) Если а ? Со U … U Сдг, то д (д (а)) = 0. Таким образом, Д (а) =

|(/ о 1])(а)кХ_и(а) < е (так как а & А). я

Открытая проблема. Найти условие па функцию /, которое было бы слабее чем непрерывность, но из которого следовала бы формула замены переменных.

В дальнейшем мы получим некоторые свойства мер, характерные для мер, определённых на алгебрах.

На протяжении этого раздела алгебра А является отделимой алгеброй для множества X. Отметим, что если начинать с меры //, определённой на алгебре А, то система А_и — //-интегрируемых множеств — является снова алгеброй.

Предложение 4.1. Пусть р: А —"• К — мера. Тогда для любого е > 0, множество X_t будет A_fl -компактом.

Этот факт является следствием теоремы 4.1.

Предложение 4.2. Пусть р: А —" К мера. Тогда алгебра. В (Х) всех A_fl — открыто-замкнутых множеств совпадает с алгеброй A_fl.

Доказательство. Воспользуемся теоремой 4.2 и предыдущим предложением. Пусть В € В (Х). Тогда функция In является Л,-непрерывной и справедливо равенство {.т: 1 В (^х)кХ^(х) > е} = В Г Х₍. Поскольку В замкнуто, a X_t компактно, то пересечение В П X_t компактно. Таким образом, В (Х) с Ац. ?

Как следствие предложения 4.2, получим, что С,(Х) содержится в Li (X, p) (для пространства X, наделённого Л ^-топологией) и верно следующее неравенство:

Пусть X — нуль-мерное топологическое пространство. Мера //, определенная на алгебре В (Х) — открыто-замкнутых множеств — называется плотной мерой. Значит, согласно предложению 4.2 всякая мера р: А —> К продолжается до плотной меры на пространстве X, которое наделенотопологией.

Предложение 4.3. Пусть у, А —> К — мера и пусть / € Ь (Х, р). Тогда функция / является (A_fl, В (К))-измеримой.

Доказательство. По теореме 4.2 функция / является^{-непрерывной.} Значит, верно включение f~^l(B (K)) С В (Х). Однако, из предложения 4.2 мы имеем, что A_fl = В (Х). я

• [1] 8Топологическое пространство (Х;т) является нуль-мерным, если каждая точка
• [2] € X обладает базой открыто-замкнутых (т.е., одновременно и открытых, и замкнутых) окрестностей.
• [3] Мы рассматриваем только хаусдорфовы пространства.