Неявная разностная схема
При этом необходимое условие устойчивости разностных схем (3.8) также преобразуем к виду: Приведём разностную схему (6.5) к виду (4.10), удобному для использования метода прогонки: Группируя члены, содержащие Ху в левой части уравнения, выразим величину, обратную X: Следовательно, коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид: Упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его… Читать ещё >
Неявная разностная схема (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Характеристика
Неявная разностная схема для уравнения (6.1) имеет вид:
Учитывая порядок аппроксимации разностных операторов, составляющих данную разностную схему, легко видеть, что она, как и явная разностная схема (6.2), аппроксимирует дифференциальное уравнение (6.1) с первым порядком и по времени, и по координате:
Исследуем устойчивость неявной разностной схемы (6.5) с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член f (jn, X ?), наличие которого не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7):
Упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части л п i a j
на К е J :
Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем.
Группируя члены, содержащие Ху в левой части уравнения, выразим величину, обратную X:
При этом необходимое условие устойчивости разностных схем (3.8) также преобразуем к виду:
Рис. 6.3. Исследование устойчивости разностной схемы (6.5).
Комплексный вид полученного выражения свидетельствует о том, что для устойчивости разностной схемы (6.5) согласно условию (6.6) требуется, чтобы величины, обратные собственным числам оператора перехода, были расположены вне или на границе круга радиусом 1, центр которого находится в начале координат комплексной плоскости (рис. 5.8).
Введём следующие обозначения:
Следовательно, величины, обратные собственным числам оператора перехода, расположены на комплексной плоскости на окружности с центром в точке (1 + q 0) и радиусом г (рис. 6.3). Так как (1 + q) > г, данная окружность находится вне круга, соответствующего условию устойчивости, при любом значении г. Это означает, что неявная разностная схема (6.5) абсолютно устойчива.
Рис. 6.4. Разностный шаблон разностной схемы (6.5).
Метод решения
Разностный шаблон (рис. 6.4), характеризующий неявную разностную схему (6.5), свидетельствует о том, что она содержит три неизвестные величины — значения функции u (t, д:) на (п + 1)-м шаге по времени. Следовательно, для решения данной разностной схемы необходимо использовать метод прогонки.
Приведём разностную схему (6.5) к виду (4.10), удобному для использования метода прогонки:
Следовательно, коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:
Легко видеть, что для разностной схемы (6.5) достаточное условие сходимости прогонки (4.16) выполняется:
Алгоритм решения, а также методики определения прогоночных коэффициентов и решения на правой границе аналогичны описанным ранее в разделе 4.2.2.