Законы распределения случайных величин

Биномиальный закон распределения

Биномиальный закон описывает распределение прерывной случайной величины X, выражающей число появлений некоторого случайного события, А при п независимых испытаниях, в каждом из которых наступлению этого события приписывается одна и та же вероятность р, следовательно, его ненаступлению — вероятность q = 1 -р.

Вероятность (общая) Р_т того, что при п испытаниях событие, А произойдет ровно т раз, соответствует (ш + 1)-му члену разложения бинома (q + р)^п:

где С™ — биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний из п элементов по т (табл. 1.3); п — целое положительное число; т = 0, 1, 2,п.

Параметры распределения Среднее значение.

Дисперсия.

Среднее квадратическое отклонение.

Биномиальное распределение имеет два свойства: 1) при вероятности р * 0,5 полигон распределения несимметричен (рис. 1.4, а, б), но при р = 0,5 является симметричным (рис. 1.5, а, б), 2) с увеличением числа испытаний п полигон распределения приобретает более плавный характер, сглаживается и приближается к непрерывной кривой. В выборочном обследовании общей совокупности условия, приводящие к биномиальному закону, полностью осуществляются только для повторной выборки, так как при бесповторной выборке.

Рис. 1.4. Биномиальный закон распределения:

а — при 5 независимых испытаниях; 6 — при 10 независимых испытаниях Таблица 1.3. Биномиальные коэффициенты С™

вероятность обследуемого признака меняется от испытания к испытанию в зависимости от результатов предшествующих испытаний. Однако при очень большом (теоретически бесконечном) объеме общей совокупности результаты в случаях бесповторной и повторной выборок практически не отличаются один от другого. Это позволяет пользоваться формулами биномиального закона для бесповторной выборки из общей совокупности большого объема.

Рис. 1.5. Закон распределения редких событий.

Пример 1.24.

Определить вероятность Р_тп появления одной бракованной детали при извлечении 10 деталей (п = 10) подряд (без их возвращения) из большой партии, доля брака в которой составляет ОД. Воспользуемся биномиальным законом ввиду большого объема партии:

За событие, А принято извлечение бракованной детали (р = ОД), а вероятность противоположного ему события В определяется долей годности в партии q = 1 — ОД = 0,9.

По табл. 1.3.

следовательно,.

Пример 1.25.

Не меняя условий предыдущего примера, определим вероятность того, что при всех десяти испытаниях ни разу не будет извлечена бракованная деталь или, иначе говоря, что в бесповторной выборке из 10 деталей не будет ни одной бракованной:

Факториал 0! = 1. Следовательно,.

Если, наконец, определить вероятность извлечения более одной дефектной детали, т. е. сумму вероятностей Р," _]0, где т = = 2,3,… 10, то это будет составлять вероятность события, противоположного событиям, рассмотренным выше: 1 — 0,39 — 0,35 = 0,26.

Из рассмотрения этих примеров можно сделать существенное для практики заключение о том, что нельзя приравнивать долю дефектных деталей в партии к доле дефектных деталей в единичной выборке объема п. Доли дефектных деталей в партии 0,1 и в сделанной выборке совпадают лишь в 39% случаев, а в 35% случаев наличие брака в выборке вообще может не оказаться.

При использовании табл. 1.3 следует учитывать, что С" ' = = С,™'^п, например С™ = С*₈.