Непрерывная случайная величина

Если множество возможных состояний исследуемой системы не является счетным, то состояние такой системы можно охарактеризовать одной или несколькими имеющими определенный физический смысл величинами Х-, у и г. п., которые обладают непрерывным спектром значений. Например, такими величинами являются координаты я, у, z и скорости v_x, v_y, v_z частицы, которая может свободно перемещаться в некоторой области пространства.

Рассмотрим статистический ансамбль, состоящий из X тождественных систем. К примеру, ансамбль может представлять собой газ из N одинаковых атомов, заполняющий некоторый объем пространства Г. Пусть х есть некоторая непрерывная величина, характеризующая состояние одной системы ансамбля, а хW — значение, которое эта величина принимает в момент времени 1 для к-й системы ансамбля.

(fc = 1, 2,…, N). Распределение значений величины x на числовой оси удобно для наглядности изобразить графически следующим образом. Разделим ось х на равные отрезки длиной Ах каждый точками я, = i Ах, где i = 0, ±1, ±2,… Подсчитаем число ДУУ, — значений я (*), попадающих в интервал [я,_ь я*). Отложим на оси ординат значение.

и проведем на этом уровне над рассматриваемым интервалом горизонтальный отрезок прямой линии. Проделав описанную операцию для каждого отрезка, получим на плоскости переменных я и w ступенчатую кривую, называемую гистограммой (рис. 2.1).

Если все N значений я<*) укладываются в один интервал длиной Ля, то гистограмма будет иметь вид прямоугольника высотой 1/Дя. Если же длина Дя меньше наименьшего расстояния |я^ — х^^к ^|_m|n между точ ками на числовой оси, отмечающими значения х'^к то числа ДУУ, — будут равны или 0, или 1. При этом гистограмма будет представлять собой совокупность УУ хаотически расположенных на оси я прямоугольников высотой (УУ Дя)"¹ каждый. Пусть длина Дя удовлетворяет неравенствам.

где я^_п и Яшах — соответственно наименьшее и наибольшее из значений я^*). При этом условии гистограмма будет иметь вид, изображенный на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Гистограмма.

Так как полное число значений я^ равно УУ, справедливо соотношение.

которому при помощи формулы (2.14) можно придать вид.

Произведение ш, Ах есть площадь /-го прямоугольника гистограммы. Таким образом, согласно равенству (2.15) площадь гистограммы равна единице.

В пределе при N —• ос и Дх — 0 гистограмма превращается в гладкую кривую, описываемую непрерывной неотрицательной функцией w = w (t, х), которая в соответствии с формулой (2.14) такова, что.

где ЛN (t, х) есть число систем ансамбля, для которых значения величины х попадают в интервал [х, х + Дх). Функция w = w (t, х) называется плотностью вероятности, или функцией распределения непрерывной случайной величины х. Смысл этой функции можно выяснить следующим образом. Используя общепринятые обозначения бесконечно малых величин, запишем равенство (2.16) так:

где dx — бесконечно малое приращение величины х, dN (t, x) — число систем ансамбля, для которых величина х принимает значения, принадлежащие интервалу [х, x+ofx). Но правая часть равенства (2.17) по определению есть вероятность dW того, что для одной произвольно выбранной в момент времени t системы ансамбля значение величины х лежит в интервале [х, х + dx). Таким образом, смысл плотности вероятности заключается в том, что Так же как и площадь гистограммы, площадь под кривой w = w (t, х) равна единице. Поэтому вместо равенства (2.15) будем иметь следующее условие нормировки плотности вероятности:

Это условие следует понимать гак: сумма вероятностей того, что случайная величина х принимает какое-то одно из всех возможных значений, равна единице.

Вероятность того, что величина х для одной из систем ансамбля в момент времени t принимает значение, принадлежащее интервалу (а, 6), равна

Согласно правилу (2.13) для вычисления среднего значения каждое значение усредняемой величины необходимо умножить на соответствующую вероятность и полученные произведения сложить. Аналогично среднее значение / некоторой функции / = {(х) от непрерывной случайной величины х можно вычислить по формуле.